La Representación de los Números Reales

Demostración. En efecto:

1°. De la hipótesis \(a \geq 0\) y \(b \geq 0\), se deduce que: \[ \left\{ \begin{array}{l} a+b+1 \geq b+1 \\ a+b+1 \geq a+1 \end{array} \right. \]

Como todos los términos son positivos (mayores o iguales a 1), podemos invertir las desigualdades.

2°. Aplicando el Teorema 4.6, el sentido de la desigualdad se invierte: \[ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{a+b+1} \leq \frac{1}{b+1} & \cdots (1) \\[0.5cm] \displaystyle\frac{1}{a+b+1} \leq \frac{1}{a+1} & \cdots (2) \end{array} \]

3°. Multiplicamos la desigualdad (1) por \(a\) y la (2) por \(b\). Como \(a \geq 0\) y \(b \geq 0\), el sentido de la desigualdad se mantiene por el Axioma O4: \[ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{a}{a+b+1} \leq \frac{a}{b+1} & \cdots (3) \\[0.5cm] \displaystyle\frac{b}{a+b+1} \leq \frac{b}{a+1} & \cdots (4) \end{array} \]

4°. Finalmente, sumamos miembro a miembro las desigualdades (3) y (4) (Teorema 4.1): \[ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{a}{a+b+1} + \frac{b}{a+b+1} \leq \displaystyle\frac{a}{b+1} + \frac{b}{a+1} \\[0.5cm] \Rightarrow \quad \displaystyle\bm{\frac{a+b}{a+b+1} \leq \frac{a}{b+1} + \frac{b}{a+1}} \end{array} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{\frac{a+b}{a+b+1} \leq \frac{a}{b+1} + \frac{b}{a+1}}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a \geq 0 \text{ y } b \geq 0}. \)

Demostración. En efecto:

1°. El primer paso es reescribir la expresión del denominador completando el cuadrado para el término \(a\): \[ \begin{aligned} a^2+ab+b^2 & = \left(a^2+ab+\displaystyle\frac{b^2}{4}\right) - \displaystyle\frac{b^2}{4} + b^2 \\[0.4cm] & = \left(a+\displaystyle\frac{b}{2}\right)^2 + \displaystyle\frac{3b^2}{4} \quad \cdots (1) \end{aligned} \]

2°. Por el Teorema 4.4, el cuadrado de cualquier número real es no negativo. Como \(a,b \in \mathbb{R}\), entonces \( \left(a+\displaystyle\frac{b}{2}\right) \in \mathbb{R}\), y por lo tanto: \[ \left(a+\displaystyle\frac{b}{2}\right)^2 \geq 0 \] Sumando \( \displaystyle\frac{3b^2}{4}\,\) a ambos lados (nótese que \(b \neq 0 \Rightarrow 3b^2/4 > 0\)): \[ \left(a+\displaystyle\frac{b}{2}\right)^2 + \displaystyle\frac{3b^2}{4} \geq \displaystyle\frac{3b^2}{4} \quad \cdots (2) \]

3°. De (1) y (2), por transitividad, tenemos que \( a^2+ab+b^2 \geq \displaystyle\frac{3b^2}{4} \). Como \(b \neq 0\), ambos lados de la desigualdad son positivos, por lo que podemos aplicar el Teorema 4.6 (invertir la desigualdad): \[ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{1}{a^2+ab+b^2} \leq \displaystyle\frac{1}{\frac{3b^2}{4}} \\[0.5cm] \Rightarrow \quad \displaystyle\bm{\frac{1}{a^2+ab+b^2} \leq \frac{4}{3b^2}} \end{array} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{\frac{1}{a^2+ab+b^2} \leq \frac{4}{3b^2}}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a,b \in \mathbb{R} \text{ y } b \neq 0}. \)

Demostración. En efecto:

1°. Por hipótesis, tenemos que \(a>0\) y \(b<0\). Si multiplicamos la desigualdad \(b<0\) por el número positivo \(a\), según el Axioma O4, el sentido no cambia: \[ ab < a \cdot 0 \quad \Rightarrow \quad ab < 0 \]

2°. Sumamos el término \(a\;\) en ambos lados de la desigualdad, por el Axioma O3, y luego factorizamos: \[ \begin{aligned} ab+a &< 0+a \\ \Rightarrow \quad a(b+1) &< a \quad \cdots (1) \end{aligned} \]

3°. Como \(a>0\), se tiene que \(a^2>0\) (Teorema 4.4) y su inverso multiplicativo \( \displaystyle\frac{1}{a^2} \) también es positivo (Teorema 4.5). Multiplicamos la desigualdad (1) por este término positivo, manteniendo el sentido de la desigualdad: \[ \begin{aligned} a(b+1) \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{a^2}\right) &< a \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{a^2}\right) \\[0.4cm] \Rightarrow \quad \displaystyle\bm{\frac{b+1}{a}} &< \displaystyle\bm{\frac{1}{a}} \end{aligned} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{\frac{b+1}{a} < \frac{1}{a}}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a > 0 \text{ y } b < 0}. \)

Demostración. En efecto:

1°. Partimos de la propiedad fundamental de que el cuadrado de cualquier número real no es negativo (Teorema 4.4). Esto también es la base de la desigualdad de medias (Ejercicio 06): \[ (a-b)^2 \geq 0 \]

2°. Desarrollando el binomio y manipulando algebraicamente la expresión: \[ \begin{aligned} a^2 - 2ab + b^2 & \geq 0 \\ a^2 + 2ab + b^2 & \geq 4ab \\ (a+b)^2 & \geq 4ab \quad \cdots (1) \end{aligned} \]

3°. Sustituimos la hipótesis \(a+b=1\) en la desigualdad (1): \[ (1)^2 \geq 4ab \quad \Rightarrow \quad 1 \geq 4ab \]

4°. Multiplicamos por \( \frac{1}{4} \) (un número positivo) para obtener el resultado final: \[ \displaystyle\bm{ab \leq \frac{1}{4}} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{ab \leq \frac{1}{4}}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a>0, b>0 \text{ y } a+b=1}. \)

Demostración. En efecto:

1°. De la hipótesis \(3a \neq 5b\), se tiene que \(3a - 5b\) es un número real distinto de cero. Por el Teorema 4.4, su cuadrado es estrictamente positivo: \[ (3a-5b)^2 > 0 \]

2°. Desarrollando el binomio y sumando \(30ab\; \) a ambos lados (por Axioma O3): \[ \begin{aligned} 9a^2 - 30ab + 25b^2 & > 0 \\ 9a^2 + 25b^2 & > 30ab \quad \cdots (1) \end{aligned} \]

3°. Como \(a,b > 0\), el término \(15ab\) es positivo. Multiplicamos la desigualdad (1) por el inverso positivo \( \frac{1}{15ab} \) (Axioma O4) y simplificamos: \[ \begin{aligned} \displaystyle\frac{9a^2 + 25b^2}{15ab} &> \displaystyle\frac{30ab}{15ab} \\[0.4cm] \displaystyle\frac{9a^2}{15ab} + \displaystyle\frac{25b^2}{15ab} &> 2 \\[0.4cm] \Rightarrow \quad \displaystyle\bm{\frac{3a}{5b} + \frac{5b}{3a}} &> \displaystyle\bm{2} \end{aligned} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{\frac{3a}{5b} + \frac{5b}{3a} > 2}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a,b > 0 \text{ y } 3a \neq 5b}. \)

Demostración. En efecto:

1°. La demostración se basa en la propiedad fundamental de que el cuadrado de cualquier número real es no negativo (Teorema 4.4). Partimos de tres desigualdades evidentes:

\[ \begin{array}{l} (a-1)^2 \geq 0 \\ (b-1)^2 \geq 0 \\ (c-1)^2 \geq 0 \end{array} \]

2°. Desarrollamos cada uno de estos binomios al cuadrado utilizando la fórmula \((x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\): \[ \begin{array}{l} a^2 - 2a + 1 \geq 0 \\ b^2 - 2b + 1 \geq 0 \\ c^2 - 2c + 1 \geq 0 \end{array} \]

3°. Sumamos miembro a miembro las tres desigualdades anteriores. Por el Teorema de Suma de Desigualdades, la desigualdad se conserva: \[ (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \geq 0+0+0 \]

4°. Reagrupamos los términos por conmutatividad y asociatividad de la suma, y simplificamos: \[ \begin{aligned} (a^2+b^2+c^2) - (2a+2b+2c) + (1+1+1) & \geq 0 \\[0.3cm] a^2+b^2+c^2 - 2(a+b+c) + 3 & \geq 0 \end{aligned} \]

5°. Finalmente, sumamos \(2(a+b+c)\; \) a ambos lados de la desigualdad (Axioma O3) para llegar al resultado deseado: \[ \bm{a^2+b^2+c^2+3 \geq 2(a+b+c)} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \bm{a^2+b^2+c^2+3 \geq 2(a+b+c)}. \)
\( \quad\textsf{para cualesquiera } \bm{a,b,c \in \mathbb{R}}. \)

Demostración. En efecto:

1°. Partimos de la hipótesis dada, que se puede desglosar en dos desigualdades: \[ \begin{array}{l} a > 0 \quad \cdots (1) \\ a < 1 \quad \cdots (2) \end{array} \]

2°. Tomamos la desigualdad (2) y multiplicamos ambos lados por el número \(a\). Según la desigualdad (1), \(a\) es un número positivo. Por lo tanto, al aplicar el Axioma O4 de la multiplicación, el sentido de la desigualdad no se altera: \[ \begin{aligned} a &< 1 \\ \Rightarrow \quad a \cdot a &< 1 \cdot a \end{aligned} \]

3°. Simplificando la expresión anterior, obtenemos el resultado deseado: \[ \bm{a^2 < a} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \bm{a^2 < a}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{0 < a < 1}. \)

Demostración. En efecto:

1°. La estrategia consiste en reordenar la desigualdad y factorizarla para llegar a una expresión cuya veracidad sea evidente.

Comenzamos reordenando todos los términos a un solo lado de la desigualdad: \[ a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 \geq 0 \]

2°. Procedemos a factorizar la expresión por agrupación de términos. Factorizamos \(a^3\) en los dos primeros términos y \(-b^3\) en los dos últimos: \[ \begin{aligned} a^3(a-b) - b^3(a-b) & \geq 0 \\ \Rightarrow \quad (a-b)(a^3-b^3) & \geq 0 \end{aligned} \]

3°. Aplicamos la fórmula de la Diferencia de cubos (U1), al segundo factor: \[ (a-b) \big[ (a-b)(a^2+ab+b^2) \big] \geq 0 \] Lo que simplifica a: \[ \bm{(a-b)^2 (a^2+ab+b^2) \geq 0} \]

4°. Ahora analizamos la validez de esta última expresión. Consta de dos factores:

• \( \bm{(a-b)^2} \): Por el Teorema 4.4, el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero. Por lo tanto, \( (a-b)^2 \geq 0 \).
• \( \bm{(a^2+ab+b^2)} \): Esta expresión se puede reescribir completando el cuadrado como \( \left(a+\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \). Ambos términos son cuadrados de números reales, por lo que son \(\geq 0\). Su suma también es \(\geq 0\). (Nota: Si \(a\) y \(b\) no son ambos cero, esta expresión es estrictamente positiva).

5°. Dado que la expresión es un producto de dos términos no negativos, el resultado es necesariamente no negativo. Esto confirma que la desigualdad es verdadera.

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \bm{a^3b + ab^3 \leq a^4 + b^4}. \)
\( \quad\textsf{para cualesquiera } \bm{a,b \in \mathbb{R}}. \)

Nota: Este método no es una demostración formal, ya que parte de lo que se quiere probar (la tesis). Sin embargo, es una herramienta muy poderosa para descubrir el camino o la idea clave de la demostración formal. Se trabaja "hacia atrás" desde la tesis hasta llegar a una verdad evidente.

1°. Suponemos que la desigualdad es cierta y la expandimos: \[ \begin{aligned} 4(a^3+b^3) & \geq (a+b)^3 \\ 4a^3 + 4b^3 & \geq a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned} \]

2°. Reordenamos y simplificamos: \[ \begin{aligned} 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 & \geq 0 \\ a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 & \geq 0 \end{aligned} \]

3°. Factorizamos por agrupación: \[ \begin{aligned} a^2(a-b) - b^2(a-b) & \geq 0 \\ (a^2-b^2)(a-b) & \geq 0 \\ (a-b)(a+b)(a-b) & \geq 0 \\ \Rightarrow \quad (a-b)^2(a+b) & \geq 0 \end{aligned} \]

Conclusión del Análisis: Hemos llegado a una expresión que sabemos que es verdadera, ya que \((a-b)^2 \geq 0\) y, por hipótesis, \(a+b>0\). Esto nos da la idea clave para construir la demostración formal partiendo de esta verdad.

Demostración. En efecto:

1°. Partimos de la verdad fundamental de que el cuadrado de cualquier número real es no negativo (Teorema 4.4): \[ (a-b)^2 \geq 0 \]

2°. Por hipótesis, \(a>0\) y \(b>0\), lo que implica que su suma \(a+b\) es un número positivo. Podemos multiplicar la desigualdad anterior por \((a+b)\) sin alterar su sentido (Axioma O4): \[ \begin{aligned} (a-b)^2(a+b) & \geq 0 \cdot (a+b) \\ \Rightarrow \quad (a-b)^2(a+b) & \geq 0 \end{aligned} \]

3°. Ahora, reconstruimos la expresión original trabajando en sentido inverso al del análisis preliminar. Expandimos los factores: \[ \begin{aligned} \big[(a-b)(a+b)\big](a-b) & \geq 0 \\ (a^2-b^2)(a-b) & \geq 0 \\ a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 & \geq 0 \end{aligned} \]

4°. Multiplicamos toda la desigualdad por 3 y reordenamos los términos de manera conveniente: \[ \begin{aligned} 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 & \geq 0 \\ 4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 & \geq 0 \\ 4a^3 + 4b^3 & \geq a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned} \]

5°. Reconocemos en el lado derecho el desarrollo del Cubo de la suma (U3). Al factorizarlo, llegamos a la tesis: \[ \bm{4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \bm{4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a > 0 \text{ y } b > 0}. \)

Nota: Este método explora la desigualdad para encontrar la idea clave. Partimos de la tesis y la simplificamos hasta llegar a una verdad conocida.

1°. Expandimos la expresión original: \[ \begin{aligned} \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b) &\geq 4 \\ 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 &\geq 4 \\ 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} &\geq 4 \end{aligned} \]

2°. Restando 2 de ambos lados, la desigualdad se reduce a: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \]

3°. Multiplicando por \(ab\) (que es positivo) y reordenando: \[ \begin{aligned} a^2 + b^2 &\geq 2ab \\ a^2 - 2ab + b^2 &\geq 0 \\ (a-b)^2 &\geq 0 \end{aligned} \]

Conclusión del Análisis: Hemos llegado a la verdad fundamental de que un cuadrado siempre es no negativo. Esto nos indica que la demostración formal debe partir de \((a-b)^2 \geq 0\) y construir el camino inverso.

Demostración. En efecto:

1°. Partimos de la desigualdad fundamental de que el cuadrado de un número real es no negativo (Teorema 4.4): \[ (a-b)^2 \geq 0 \]

2°. Expandimos el binomio: \[ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \]

3°. Como \(a>0\) y \(b>0\), su producto \(ab\) es positivo. Podemos dividir toda la desigualdad por \(ab\) sin alterar su sentido: \[ \begin{aligned} \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} &\geq \frac{0}{ab} \\[0.4cm] \frac{a^2}{ab} - \frac{2ab}{ab} + \frac{b^2}{ab} &\geq 0 \\[0.4cm] \frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a} &\geq 0 \end{aligned} \]

4°. Sumando 2 a ambos lados y reagrupando, obtenemos: \[ \begin{aligned} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} &\geq 2 \\ \Rightarrow \quad 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} &\geq 4 \end{aligned} \]

5°. Finalmente, reconocemos que el lado izquierdo es la expansión de la expresión original, por lo que podemos factorizar para llegar a la tesis: \[ \bm{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b) \geq 4} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \bm{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b) \geq 4}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a,b > 0}. \)

Demostración. En efecto:

1°. La demostración se basa en la Desigualdad de Medias MA-MG, que se deriva del hecho de que el cuadrado de un número real es no negativo. La forma que usaremos es \(x+y \geq 2\sqrt{xy}\) para \(x,y \geq 0\).

2°. Definimos nuestros términos \(x\) e \(y\). Como \(a \neq 0\), los términos \(a^2\) y \(9/a^2\) son ambos estrictamente positivos. Sea: \[ x = a^2 \quad , \quad y = \frac{9}{a^2} \]

3°. Aplicamos la desigualdad MA-MG a estos dos términos: \[ \begin{aligned} x+y &\geq 2\sqrt{xy} \\[0.3cm] \Rightarrow \quad a^2 + \frac{9}{a^2} &\geq 2\sqrt{a^2 \cdot \frac{9}{a^2}} \end{aligned} \]

4°. Simplificamos el lado derecho de la desigualdad: \[ \begin{aligned} a^2 + \frac{9}{a^2} &\geq 2\sqrt{9} \\[0.3cm] a^2 + \frac{9}{a^2} &\geq 2(3) \\[0.3cm] \Rightarrow \quad \displaystyle\bm{a^2 + \frac{9}{a^2}} &\geq \displaystyle\bm{6} \end{aligned} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{a^2 + \frac{9}{a^2} \geq 6}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a \in \mathbb{R} \text{ y } a \neq 0}. \)

Demostración. En efecto:

1°. La estrategia es similar a la del Ejercicio 05. Reconocemos que la expresión tiene la forma \(x + \frac{1}{x}.\;\) Sea \(\,x = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\,\) Como \(a,b > 0 \;\rightarrow\; x>0\). La desigualdad a probar es \(x + \frac{1}{x} > 2\).

2°. Partimos de una verdad fundamental. Como \(a \neq b\), entonces \(\sqrt{a} \neq \sqrt{b}\), y la diferencia \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) es un número real distinto de cero. Por el Teorema 4.4, su cuadrado es estrictamente positivo: \[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 > 0 \]

3°. Desarrollamos el binomio al cuadrado: \[ a - 2\sqrt{ab} + b > 0 \]

4°. Como \(a,b > 0\), el término \(\sqrt{ab}\) es positivo. Podemos dividir toda la desigualdad por \(\sqrt{ab}\) sin alterar su sentido. Aplicando las propiedades de la raíz cuadrada (R4 y R5) para simplificar: \[ \begin{aligned} \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{ab}} &> 0 \\[0.4cm] \frac{a}{\sqrt{ab}} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} + \frac{b}{\sqrt{ab}} &> 0 \\[0.4cm] \frac{\sqrt{a}\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - 2 + \frac{\sqrt{b}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} &> 0 \\[0.4cm] \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - 2 + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} &> 0 \end{aligned} \]

5°. Sumando 2 a ambos lados, obtenemos la tesis: \[ \displaystyle\bm{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} > 2} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \displaystyle\bm{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} > 2}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a,b > 0 \text{ y } a \neq b}. \)

Demostración. En efecto:

1°. Partimos de la Desigualdad de Medias MA-MG, que establece que para dos números no negativos \(x, y\), se cumple: \[ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \]

2°. Aplicamos esta desigualdad, pero en lugar de usar \(a\) y \(b\) directamente, la aplicamos a sus inversos multiplicativos, \( \frac{1}{a}\;\) y \(\;\frac{1}{b} \). Como \(a,b > 0\), sus inversos también son positivos: \[ \begin{aligned} \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} &\geq \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} \\[0.4cm] \frac{\frac{a+b}{ab}}{2} &\geq \sqrt{\frac{1}{ab}} \end{aligned} \]

3°. Simplificamos ambos lados de la desigualdad, utilizando las propiedades de la raíz cuadrada: \[ \begin{aligned} \frac{a+b}{2ab} &\geq \frac{1}{\sqrt{ab}} \end{aligned} \]

4°. Como todos los términos son positivos, podemos "invertir" ambas fracciones, lo que cambia el sentido de la desigualdad (por el Teorema 4.6): \[ \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \]

5°. Reordenando la expresión para que coincida con el enunciado, obtenemos la tesis: \[ \displaystyle\bm{\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}} \]

\( \bm{\therefore} \) Queda demostrado que la Media Geométrica es mayor o igual que la Media Armónica
\( \qquad\textsf{cuando } \bm{a > 0 \text{ y } b > 0}. \)

Demostración. En efecto:

1°. Para demostrar la identidad, expandiremos el lado derecho (RHS), que es más complejo, y mostraremos que es igual al lado izquierdo (LHS). Distribuimos el término \((x+y+z)\) sobre el segundo paréntesis:

\[ \begin{aligned} \text{RHS} = x(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \;&+ \\ y(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \;&+ \\ z(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \end{aligned} \]

2°. Realizamos cada multiplicación por separado: \[ \begin{aligned} & (x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y - xyz - x^2z) \;+ \\ & (x^2y + y^3 + yz^2 - xy^2 - y^2z - xyz) \;+ \\ & (x^2z + y^2z + z^3 - xyz - yz^2 - xz^2) \end{aligned} \]

3°. Ahora, agrupamos y cancelamos los términos opuestos. Observamos que:

• El término \(+xy^2\) se cancela con \(-xy^2\).
• El término \(+xz^2\) se cancela con \(-xz^2\).
• El término \(-x^2y\) se cancela con \(+x^2y\).
• El término \(-x^2z\) se cancela con \(+x^2z\).
• El término \(+yz^2\) se cancela con \(-yz^2\).
• El término \(-y^2z\) se cancela con \(+y^2z\).

4°. Los únicos términos que no se cancelan son los cubos y los tres términos \(-xyz\): \[ \text{RHS} = x^3+y^3+z^3 - xyz - xyz - xyz \] \[ \bm{\text{RHS} = x^3+y^3+z^3 - 3xyz} \]

\( \therefore \textsf{ Se ha demostrado que para toda terna } \,x,\,y,\,z\,\in\mathbb{R},\, \textsf{el lado derecho} \)
\(\quad\, \textsf{es igual al izquierdo, verificando así la identidad de Gauss.}\)

Demostración. En efecto:

1°. Podemos usar el resultado del Ejercicio selecto 09 (Identidad de Gauss), para una terna \( \,x,\,y,\,z\in\mathbb{R}\) \[ \begin{aligned} x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z) \cdot \\ (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \end{aligned} \]

2°. Analizamos el segundo factor del lado derecho, \((x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\). En el Ejercicio explicativo 05, se demostró que \(x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx\). Por lo tanto, se deduce que: \[ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \geq 0 \]

3°. Dado que \(x,y,z\) serán positivos (ver paso 4°), el factor \((x+y+z)\) también es positivo. Como los dos factores del lado derecho son no negativos, su producto también lo es. Esto nos lleva a la importante desigualdad: \[ \begin{aligned} x^3+y^3+z^3 - 3xyz &\geq 0 \\ \Rightarrow \quad x^3+y^3+z^3 &\geq 3xyz \end{aligned} \]

4°. Ahora, realizamos una sustitución estratégica. Como \(a,b,c > 0\), podemos definir: \[ x = \sqrt[3]{a}, \quad y = \sqrt[3]{b}, \quad z = \sqrt[3]{c} \] Sustituyendo en la desigualdad del paso anterior: \[ \begin{aligned} (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 + (\sqrt[3]{c})^3 &\geq 3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{c} \\[0.3cm] a+b+c &\geq 3\sqrt[3]{abc} \end{aligned} \] Esta es la Desigualdad de Medias para 3 variables.

5°. Finalmente, como ambos lados son positivos, podemos elevar al cubo la desigualdad sin alterar su sentido. Aplicando la propiedad de Potencia de un producto (P5): \[ \begin{aligned} (a+b+c)^3 &\geq (3\sqrt[3]{abc})^3 \\ (a+b+c)^3 &\geq 3^3 (\sqrt[3]{abc})^3 \\ \Rightarrow \quad \bm{(a+b+c)^3} &\geq \bm{27abc} \end{aligned} \]

\( \therefore \textsf{ Queda demostrado que } \bm{(a+b+c)^3 \geq 27abc}. \)
\( \quad\textsf{cuando } \bm{a,b,c > 0}. \)