1. Conceptos previos y recapitulación
1.1 Los números reales y la recta real
Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una correspondencia, es decir:
Si sobre una recta se fija su origen "O", una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto.
1.2 Notación para los conjuntos de números
La típica escritura en "doble línea" caracteriza a los conjuntos numéricos que conforman al conjunto R
- \(\mathbb{N}\) : Conjunto de los números naturales.
- \(\mathbb{Z}\) : Conjunto de los números enteros.
- \(\mathbb{Q}\) : Conjunto de los números racionales.
- \(\mathbb{I}\) : Conjunto de los números irracionales.
- \(\mathbb{R}\) : Conjunto de los números reales.
1.3 Esquema conjuntista de los números reales
Básicamente el conjunto \( \mathbb{R} \) es una reunión disjunta (sin intersecciones) de 2 grandes conjuntos: el conjunto \( \mathbb{Q} \) y el conjunto \( \mathbb{I} \), los racionales y los no racionales. Ver el diagrama siguiente.
1.4 Desigualdades
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación \(\bm{a < b}\) significa que sobre una recta numérica el punto \(\bm{A}\) corresponde al número \(\bm{a}\) que se encuentra a la izquierda del punto \(\bm{B}\) correspondiente al número \(\bm{b}\).
El símbolo \( (<) \) que lee es menor que forma parte del grupo siguiente:
- \( (<)\, \) se lee: es menor que.
- \( (>)\, \) se lee: es mayor que.
- \( (\leq)\, \) se lee: es menor o igual que.
- \( (\geq)\, \) se lee: es mayor que.
1.5 Definición (número positivo y negativo)
- Un número real es positivo si \(\bm{a>0}\)
- Un número real es negativo si \(\bm{a<0}\)
1.6 Definición (Desigualdad)
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. Por ejemplo \(\bm{5 < 9}\).
Los axiomas de orden se mencionaron en el post anterior de números reales pero es importante recalcarlos ahora.
Necesitaremos unas dos últimas definiciones para demostrar los próximos siete teoremas y finalmente resolver los ejercicios, los cuales en su mayoría son demostraciones.
2. Redefiniendo las Desigualdades con Relación: <, >, ≤ , ≥
Las clásicas cuatro desigualdades se redefinen para ayudar a simplificar los pasos de demostración de los teoremas siguientes. En alguno de dichos pasos encontraremos referencias (enlaces internos) a estas definiciones o propiedades. Nótese además la conexión con la definición 1.5
2.1 La relación 'menor que' (<) , y 'mayor que' (>)
- \( \bm{a < b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{b - a} \) es positivo.
- \( \bm{a > b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{a - b} \) es positivo.
2.2 La relación 'menor o igual' (≤) , y 'mayor o igual' (≥)
- \( \bm{a \leq b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{a = b} \; \textcolor{blue}{\lor} \; \bm{a < b} \)
- \( \bm{a \geq b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{a > b} \; \textcolor{blue}{\lor} \; \bm{a = b} \)
3. Axiomas de la relación de orden
3.1 Axiomas de orden en R
Para toda terna de números reales \(\bm{a, b, c\,}\) se tiene los 4 axiomas de la relación de orden (desigualdades):
- Tricotomía: \[\begin{array}{c}\textsf{Para todo }\bm{\,a, b \in \RR,} \\ \textsf{una \textbf{y solo una} de las relaciones se cumple}\\ \bm{a < b \quad,\quad a = b \quad,\quad b < a} \end{array}\]
- Transitividad: \[\textsf{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, b < c \quad\Rightarrow\quad a < c}\]
- Monotonía de la adición: \[\textsf{Si: } \bm{a < b \quad\Rightarrow\quad a + c < b + c}\]
- Monotonía de la multiplicación: \[\textsf{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, c > 0 \quad\Rightarrow\quad a\cdot c < b\cdot c}\]
3.2 Corolario O4.1 (Producto de dos números positivos)
Si \( \bm{x \in \mathbb{R}}\;\) y \(\;\bm{y \in \mathbb{R}} \), entonces se cumple que: \[ \textsf{Si } \bm{x > 0 \;\land\; y > 0,} \quad \textsf{entonces } \quad \bm{xy > 0.} \] Es decir, el producto de dos números reales positivos es también positivo.
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \( x > 0 \) | Por hipótesis. |
| 2° | \( y > 0 \) | Por hipótesis. |
| 3° | \( x \cdot y > 0 \cdot y \) | De 1° (considerando \(x > 0\)) y 2° (multiplicando por \(y > 0\)), por Axioma O4. |
| 4° | \( 0 \cdot y = 0 \) | Propiedad de la Multiplicación por cero (ver Ej. 2 del post anterior o Axioma Absorbente). |
| 5° | \( \therefore \; xy > 0 \) | De 3° y 4°, por sustitución. |
4. Teoremas escenciales
A continuación presento 6 teoremas en cuya demostración está la clave para entender la resolución paso a paso de los próximos 10 ejercicios. Dedicar la mayor atención posible.
4.1 Teorema (Suma de desigualdades)
Sean los números reales \(\bm{a,b,c,d\,};\) se cumple: \[\boxed{\begin{array}{c} \bm{a} < \bm{c} \\ \textcolor{#8B0000}{\scriptstyle\land} \\ \bm{b} < \bm{d} \\ \textcolor{blue}{\Rightarrow} \\ \bm{a} + \bm{b} < \bm{c} + \bm{d} \end{array}}\]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a < c}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{a + b < b + c}\) | 1° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 3° | \(\bm{b < d}\) | por hipótesis |
| 4° | \(\bm{b + c < c + d}\) | 3° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 5° | \(\bm{a + b < c + d}\) | 2°, 4° y \(\bm{O_2}\) (Axiomas de orden) |
4.2 Teorema (Inversión de la desigualdad)
Dados los números reales \(\bm{a,b\,};\) se cumple: \[\boxed{ \begin{array}{c} \text{Si }\bm{a < b} \\ \bm{\color{blue}{\Rightarrow}} \\ \bm{-a>-b} \end{array} }\]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a < b}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{b-a>0}\) | 1° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 3° | \(\bm{(b-a)+(-b)>0+(-b)}\) | por hipótesis |
| 4° | \(\bm{-a + (b + (-b)) > -b}\) | 3° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 5° | \(\bm{-a + 0 > -b}\) | 2°, 4° y \(\bm{O_2}\) (Axiomas de orden) |
| 6° | \(\bm{-a > -b}\) | 2°, 4° y \(\bm{O_2}\) (Axiomas de orden) |
4.3 Teorema (Multiplicación por un número negativo)
Todo multiplicador negativo invierte el sentido de una desigualdad. Esto formalmente se enuncia como: Para toda terna de números reales \(\bm{a, b, c\,};\) se cumple: \[\boxed{ \begin{array}{lll} \begin{array}{c} \bm{a < b} \\ \bm{\color{purple}{\scriptstyle\land}} \\ \bm{c < 0} \end{array} & \bm{{\color{blue}{\Rightarrow}}} & \bm{a\cdot c > b\cdot c } \end{array} } \]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a < b}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{c<0}\) | por hipótesis |
| 3° | \(\bm{-c>0}\) | 2° y la Inversión de la desigualdad. |
| 4° | \(\bm{-a\cdot c<-b\cdot c}\) | 1°, 3°, \(\bm{O_4}\) (Axiomas de orden) |
| 5° | \(\bm{a\cdot c>b\cdot c}\) | 4° y la Inversión de la desigualdad. |
4.4 Teorema (Positividad de los cuadrados)
Para todo número real \(\bm{a}\) se cumple que: \[\textsf{Si } \;\bm{a\neq 0,}\, \textsf{entonces: } \,\bm{a^2 > 0} \]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a \neq 0}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{ a > 0 \lor a < 0 }\) | 1° y \(\bm{O_1}\) (Axiomas de orden) |
| 3° | Si \(\bm{a > 0 } \Rightarrow \bm{a \cdot a > 0 \cdot a}\) | 2° y \(\bm{O_4}\) (Axiomas de orden). |
| 4° | \(\bm{a^2 > 0}\) | 3°, y el ejercicio 2 del post anterior |
| 5° | Si \(\bm{ a < 0 \Rightarrow -a > 0 }\) | 2° y el teorema de (Inversión de la desigualdad) |
| 6° | \(\bm{(-a)(-a) > 0 \cdot (-a)}\) | 5° y \(\bm{O_4}\) (Axiomas de orden). |
| 7° | \(\bm{a^2 > 0}\) | 6°, y ejercicios: 2 y 5 (post anterior) . |
4.5 Teorema (Signo del Inverso Multiplicativo)
Si \(\bm{a \in \mathbb{R}}\) y \(\bm{a \neq 0}\), entonces el inverso multiplicativo \(\bm{a^{-1}}\) tiene el mismo signo que el número real \(\bm{a}\). Esto significa que:
- Si \(\bm{a > 0}\), entonces \(\bm{a^{-1} > 0}\).
- Si \(\bm{a < 0}\), entonces \(\bm{a^{-1} < 0}\).
Demostración. En efecto:
Parte (i)
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{ a > 0 }\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{ a^{-1} < 0 }\) | hipótesis auxiliar (neg. consecuente) |
| 3° | \(\bm{ a \cdot a^{-1} < 0 }\) | 1°, 2° y Teorema 3 (Mult. por negativo). |
| 4° | \(\bm{ 1 < 0 }\) | 3° y \(\bm{M_5}\) del post anterior a es un absurdo |
| 5° | \(\bm{ a^{-1} > 0 }\) | por 2° y 4° |
| 6° | \(\bm{\therefore\; a > 0 \Rightarrow a^{-1} > 0 }\) | 1° y 5° |
La parte (ii) es similar, se le deja de ejercicio al lector.
4.6 Teorema (Comparación de los inversos de números del mismo signo)
Para \(\bm{ a, b \in \mathbb{R} }\), donde \(\bm{a }\) y \(\bm{ b }\) tienen el mismo signo, se cumple que: \[\textsf{Si } \,\bm{ a < b }\, \textsf{ entonces } \,\bm{ a^{-1} > b^{-1}.}\]
Este teorema describe la relación entre los inversos de dos números reales del mismo signo. Si \( \bm{a}\;\) y \(\;\bm{b} \) son ambos positivos o ambos negativos, y \( \bm{a < b} \), entonces el inverso de \( \bm{a} \) es mayor que el inverso de \( \bm{b} \). Esto ayuda a comprender cómo se comportan los inversos en diferentes situaciones.
Antes de proceder con la sección de ejercicios, es conveniente revisar una serie de identidades y propiedades algebraicas esenciales. Estas incluyen los productos notables, así como las reglas de potenciación y radicación. Estas fórmulas, fundamentales en el álgebra elemental, serán referenciadas directamente en las demostraciones subsecuentes para asegurar una mayor claridad y rigor en el desarrollo de cada prueba.
5. Productos notables
Es importante repasar algunas fórmulas del algebra de la secundaria conocidas como productos notables, los cuales se cumplen enteramente en el conjunto \(\RR\) y cuya demostración, por ahora, se va a prescindir.
5.1 Expresiones de segundo grado
Podemos mencionar:
- \(\;\bm{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}\) \(\,\rightarrow\;\) Diferencia de cuadrados.
- \(\;\bm{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\) \(\,\rightarrow\;\) Cuadrado de la suma.
- \(\;\bm{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\) \(\,\rightarrow\;\) Cuadrado de la diferencia.
5.2 Expresiones de grado tres
Podemos mencionar:
- \(\;\bm{a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}\) \(\,\rightarrow\;\) Diferencia de cubos.
- \(\;\bm{a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}\) \(\,\rightarrow\;\) Suma de cubos.
- \(\;\bm{(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\) \(\,\rightarrow\;\) Cubo de la suma.
- \(\;\bm{(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\) \(\,\rightarrow\;\) Cubo de la diferencia.
6. Potenciación en los Números Reales
La potenciación es una operación fundamental que nos permite simplificar multiplicaciones repetidas. Sus propiedades son esenciales para la manipulación de expresiones algebraicas complejas.
6.1 Definición (Potenciación)
Para un número real \( \bm{a} \) (llamado base) y un número entero positivo \( \bm{n} \) (llamado exponente), la potencia \(\bm{a^n}\) se define como el producto de \(n\) factores iguales a \(a\): \[ \bm{a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}}} \]
Además, se establecen las siguientes definiciones para otros tipos de exponentes enteros:
- \( \bm{a^1 = a} \) \(\,\rightarrow\,\) (Exponente uno).
- \( \bm{a^0 = 1},\, \) si \(a \neq 0\) \(\,\rightarrow\,\) (Exponente cero).
- \( \bm{a^{-n}} = {\displaystyle\bm{\frac{1}{a^n}}},\, \) si \(a \neq 0\) \(\,\rightarrow\,\) (Exponente entero negativo).
6.2 Propiedades Fundamentales
Para todos los números reales \( \bm{a, b} \) y los exponentes \( \bm{m, n} \), se cumplen las siguientes propiedades:
- \( \bm{(a^n)^m = a^{nm}} \) \(\,\rightarrow\,\) Potencia de una potencia.
- \( \bm{a^{n/m} = \sqrt[m]{a^n}} \) \(\,\rightarrow\,\) Exponente fraccionario.
- \( \bm{a^n \cdot a^m = a^{n+m}} \) \(\,\rightarrow\,\) Producto de potencias de igual base.
- \( {\displaystyle\bm{\frac{a^n}{a^m}}} = \bm{a^{n-m}},\, \) si \(a \neq 0\) \(\,\rightarrow\,\) Cociente de potencias de igual base.
- \( \bm{(ab)^n = a^n b^n} \) \(\,\rightarrow\,\) Potencia de un producto.
7. La Raíz Cuadrada en los Números Reales
Y finalmente definimos formalmente la raíz cuadrada y enunciamos sus propiedades clave. Esta operación es crucial en muchas desigualdades y su correcto manejo es esencial.
7.1 Definición (Raíz Cuadrada)
Para todo número real no negativo \( \bm{a \geq 0} \), se define la raíz cuadrada principal de \(\bm{a}\), denotada por \( \bm{\sqrt{a}} \), como el único número real no negativo \( \bm{y} \) tal que \( \bm{y^2 = a} \). \[ \bm{\sqrt{a} = y \quad \iff \quad y \geq 0 \;\land\; y^2 = a} \]
7.2 Propiedades Fundamentales
Para todos los números reales \( \bm{a \geq 0}\;\) y \(\;\bm{b \geq 0} \), se cumplen las siguientes propiedades. Algunas de sus demostraciones se abordarán en la sección de ejercicios.
- \( \bm{\sqrt{a} \geq 0} \) \(\,\rightarrow\,\) (La raíz cuadrada es siempre no negativa).
- \( \bm{(\sqrt{a})^2 = a} \) \(\,\rightarrow\,\) (Definición inversa).
- \( \bm{\sqrt{a^2} = a} \) \(\,\rightarrow\,\) (Solo si \(a \geq 0\). En general, \(\sqrt{x^2}=|x|\)).
- \( \bm{\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}} \) \(\,\rightarrow\,\) (Raíz de un producto).
- \( \sqrt{\displaystyle\bm{\frac{a}{b}}} = {\displaystyle\bm{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}},\; \) si \(b > 0\) \(\,\rightarrow\,\) (Raíz de un cociente).
- \( \bm{\text{Si } a \leq b \Rightarrow \sqrt{a} \leq \sqrt{b}} \) \(\,\rightarrow\,\) (La raíz cuadrada preserva el orden).
- \( \bm{|a| \leq b \iff -b\leq a \leq b} \) \(\,\rightarrow\,\) (Una de las más importantes del V.A.)
Ahora damos paso a la sección Ejercicios Explicativos, una resolución paso a paso de 20 ejercicios que refuerzan el aprendizaje de los axiomas, teoremas y propiedades aquí expuestos. Clic en "Next".