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Representación de los números reales

la recta y la relación biunívoca con el conjunto de los reales

Los números reales y la recta real

Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una
correspondencia, es decir:

Si sobre una recta se fija su origen «O», una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto.

la recta y la relación biunívoca con el conjunto de los reales

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Notación para los conjuntos de números

La típica escritura en «doble línea» caracteriza a los conjuntos numéricos que conforman al conjunto R

\mathbb{N}Conjunto de los números naturales.
\mathbb{Z}Conjunto de los números enteros.
\mathbb{Q}Conjunto de los números racionales.
\mathbb{I}...Conjunto de los números irracionales.
\mathbb{R}Conjunto de los números reales.
\mathbb{C}Conjunto de los números complejos.

.

Conjunto de los números reales (conformación)

Básicamente el conjunto \mathbb{R} es una reunión disjunta (sin intersecciones) de 2 grandes conjuntos: el conjunto \mathbb{Q} y el conjunto \mathbb{I}, los racionales y los no racionales. Ver el diagrama siguiente.

diagrama que describe cada uno de los conjuntos que conforman el conjunto de los números reales

Desigualdades

La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.

La relación \bm{a<b} significa que sobre una recta numérica el punto \bm{A} corresponde al número \bm{a} que se encuentra a la izquierda del punto \bm{B} correspondiente al número \bm{b} .

El símbolo < que lee es menor que también usaremos los símbolos siguientes:

>se lee: Es mayor que .
\leqse lee: Es menor o igual que .
\geqse lee: Es mayor o igual que .

.

Definición (n° positivo y negativo)

Definition 1. [positivo y negativo]
$\quad$• Un número real es positivo si \bm{a>0}.
$\quad$• Un número real es negativo si \bm{a<0}.

Definition 2. [Desigualdad]
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. Por ejemplo \bm{5 < 9}.

Axiomas de la relación de orden

Para toda terna de números reales \bm{a, b, c} se tiene los 4 axiomas de la relación de orden (desigualdades):

O1. Tricotomía:$\bm{\forall \,a, b \in \RR}$, una Y SOLO UNA de las relaciones
.............................. se cumple: .............................. && \smash{\bm{a < b \quad,\quad a = b \quad,\quad b < a}} &&
O2. Transitividad:&&\text{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, b < c \quad\Rightarrow\quad a < c}&&
O3. Monotonía
.......de la adición:
&&\text{Si: } \bm{a < b \quad\Rightarrow\quad a + c < b + c}&&
O4. Monotonía de la
.......multiplicación:
&&\text{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, c > 0 \quad\Rightarrow\quad a\cdot c < b\cdot c}&&

.

Necesitaremos estas últimas definiciones (de abajo) para que sea cómodo demostrar los próximos teoremas y resolver los ejercicios, los cuales en su mayoría son demostraciones.

Redefiniendo las Desigualdades con Relación: <, >, ≤ , ≥

Las clásicas cuatro desigualdades se redefinen para ayudar a simplificar los pasos de demostración de los teoremas siguientes. En alguno de dichos pasos encontraremos referencias (enlaces internos) a estas definiciones o propiedades.

La relación ‘menor que’ (<) , y ‘mayor que’ (>)

Definition 3. [Menor que, mayor que]
\bm{i)}\bm{a < b {\color[RGB]{139,0,0}{\iff}} b - a} es positivo.
\bm{ii)}\bm{a > b {\color[RGB]{139,0,0}{\iff}} a - b} es positivo.

La relación ‘menor o igual que’ (≤) , y ‘mayor o igual que’ (≥)

Definition 4. [Menor o igual, mayor o igual]
\bm{i)}\bm{a \leq b {\color[RGB]{139,0,0}{\iff}}  a = b \;{\color{blue}{\lor}}\; a < b}
\bm{ii)}\bm{a \geq b {\color[RGB]{139,0,0}{\iff}} a > b \;{\color{blue}{\lor}}\; a = b}

A continuación presentaremos 6 teoremas cuya demostración será clave para entender, de la mejor manera posible, la resolución paso a paso de los próximos 10 ejercicios. Dedicar la mayor atención posible.

Suma de desigualdades

Remark 1. [Suma de desigualdades]
Sean los números reales \bm{a,b,c\,}; se cumple:

    \[\boxed{\begin{array}{c}   \bm{a < c} \\   \bm{\color[RGB]{139,0,0}{\scriptstyle\land}} \\   \bm{b < d} \\   \bm{\color{blue}{\Leftrightarrow}} \\   \bm{a + b < c + d} \end{array}}\]

Proof . .. En efecto:
Paso........Acción..........Justificación
1°)\bm{a < c}por hipótesis
2°)\bm{a + b < b + c}1°) y \bm{O_3} (Axiomas de orden)
3°)\bm{b < d}por hipótesis
4°)\bm{b + c < c + d}3°) y \bm{O_3} (Axiomas de orden)
5°)\bm{a + b < c + d}2°), 4°) y \bm{O_2} (Axiomas de orden)

.

Propiedad de inversión de la desigualdad

Remark 2. [Inversión de la desigualdad]
Dados los números reales \bm{a,b\,}; se cumple:

    \[\boxed{     \begin{array}{c}        \text{Si }\bm{a < b} \\        \bm{\color{blue}{\Leftrightarrow}} \\        \bm{-a>-b}     \end{array}   }\]

Proof . .. En efecto:
Paso........Acción..............................Justificación
1°)\bm{a < b}por hipótesis
2°)\bm{b-a>0}1° y Definition 2
3°)\bm{(b-a)+(-b)>0+(-b)}2° y \bm{O_3} (Axiomas de orden)
4°)\bm{-a + (b + (-b)) > -b} \bm{A_3} y \bm{A_4} (A. de suma)
5°)\bm{-a + 0 > -b}4° y \bm{A_5} (A. de suma)
5°)\bm{-a > -b}5° y \bm{A_4} (A. de suma)

.

Multiplicación por un número negativo en desigualdades

Teorema 3. [Multiplicación por negativo]

Todo multiplicador negativo invierte el sentido de una desigualdad. Esto formalmente se enuncia como: Para toda terna de números reales \bm{a, b, c\,}; se cumple:

. \boxed{ \begin{array}{lll} \begin{array}{c}   \bm{a < b} \\   \bm{\color{purple}{\scriptstyle\land}} \\   \bm{c < 0} \end{array} & \bm{{\color{blue}{\Rightarrow}}}  &  \bm{a\cdot c > b\cdot c } \end{array} }}
Proof . .. En efecto:
Paso........Acción............Justificación
1°)\bm{a < b}por hipótesis
2°)\bm{c<0}por hipótesis
3°)\bm{-c>0}2° y la Inversión de la desigualdad.
4°)\bm{-a\cdot c<-b\cdot c} 1°, 3°, \bm{O_4} (Axiomas de orden)
5°)\bm{a\cdot c>b\cdot c}4° y la Inversión de la desigualdad.

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Propiedad de positividad de los cuadrados

Teorema 4. [Positividad de los cuadrados]

Para todo número real \bm{a} se cumple que:

.....Si \;\bm{a\neq 0}\;, entonces: \bm{\;a^2 > 0}
Proof . .. En efecto:
Paso..............Acción....................Justificación
1°)\bm{a \neq 0}por hipótesis
2°)\bm{ a > 0 \lor a < 0 }1° y \bm{O_1} (Axiomas de orden)
3°)Si \bm{a > 0 } \Rightarrow \bm{a \cdot a > 0 \cdot a}2° y \bm{O_4} (Axiomas de orden).
4°)\bm{a^2 > 0} 3°, y ejercicio 2 (post anterior)
5°)Si \bm{ a < 0 \Rightarrow -a > 0 }2° y el teorema de (Inversión de la desigualdad)
6°)\bm{(-a)(-a) > 0 \cdot (-a)}5° y \bm{O_4} (Axiomas de orden).
7°)\bm{a^2 > 0}6°, y ejercicios: 2 y 5 (post anterior) .

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Signo del Inverso Multiplicativo de un Número Real

Teorema 5. [Signo del inverso]

Si \bm{a \in \mathbb{R}} y \bm{a \neq 0}, entonces el inverso multiplicativo \bm{a^{-1}} tiene el mismo signo que el número real \bm{a}. Esto significa que:

  1. (i).. Si \bm{a > 0}, entonces \bm{a^{-1} > 0}.
  2. (ii). Si \bm{a < 0}, entonces \bm{a^{-1} < 0}.
Proof . .. En efecto:
Parte (i)
Paso..............Acción....................Justificación
1°)\bm{ a > 0 }por hipótesis
2°)\bm{ a^{-1} < 0 }hipótesis auxiliar (neg. consecuente)
3°)\bm{ a \cdot a^{-1} < 0 }1°, 2° y Teorema 3 (Mult. por negativo).
4°)\bm{ 1 < 0 } 3° y (\bm{M_5}, post anterior) es un absurdo
5°)\bm{ a^{-1} > 0 } por 2° y 4°
6°)\bm{\therefore\; a > 0 \Rightarrow a^{-1} > 0 }1° y 5°

La parte (ii) es similar, se le deja de ejercicio al lector.

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Comparación de los Inversos de Dos Números del Mismo Signo

Este teorema describe la relación entre los inversos de dos números reales del mismo signo. Si \bm{a} y \bm{b} son ambos positivos o ambos negativos, y \bm{a < b}, entonces el inverso de \bm{a} es mayor que el inverso de \bm{b}. Esto ayuda a comprender cómo se comportan los inversos en diferentes situaciones.

Teorema 6. [Comparación de los Inversos]

Para \bm{ a, b \in \mathbb{R} }, donde \bm{a } y \bm{ b } tienen el mismo signo, se cumple que:

si . \bm{ a < b } .. entonces .. \bm{ a^{-1} > b^{-1} }.
Proof . .. En efecto:
Parte (i)
Paso..............Acción....................Justificación
1°)\bm{ a > 0 }por hipótesis
2°)\bm{ a^{-1} < 0 }hipótesis auxiliar (neg. consecuente)
3°)\bm{ a \cdot a^{-1} < 0 }1°, 2° y Teorema 3 (Mult. por negativo).
4°)\bm{ 1 < 0 } 3° y (\bm{M_5}, post anterior) es un absurdo
5°)\bm{ a^{-1} > 0 } por 2° y 4°
6°)\bm{\therefore\; a > 0 \Rightarrow a^{-1} > 0 }1° y 5°

La parte (ii) es similar, se le deja de ejercicio al lector.

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