Los números reales y la recta real
Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una
correspondencia, es decir:
Si sobre una recta se fija su origen «O», una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto.
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Notación para los conjuntos de números
La típica escritura en «doble línea» caracteriza a los conjuntos numéricos que conforman al conjunto R
Conjunto de los números naturales. | |
Conjunto de los números enteros. | |
Conjunto de los números racionales. | |
... | Conjunto de los números irracionales. |
Conjunto de los números reales. | |
Conjunto de los números complejos. |
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Conjunto de los números reales (conformación)
Básicamente el conjunto es una reunión disjunta (sin intersecciones) de 2 grandes conjuntos: el conjunto y el conjunto , los racionales y los no racionales. Ver el diagrama siguiente.
Desigualdades
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación significa que sobre una recta numérica el punto corresponde al número que se encuentra a la izquierda del punto correspondiente al número .
El símbolo que lee es menor que también usaremos los símbolos siguientes:
se lee: Es mayor que . | |
se lee: Es menor o igual que . | |
se lee: Es mayor o igual que . |
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Definición (n° positivo y negativo)
$\quad$• Un número real es positivo si .
$\quad$• Un número real es negativo si .
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. Por ejemplo .
Axiomas de la relación de orden
Para toda terna de números reales se tiene los 4 axiomas de la relación de orden (desigualdades):
O1. Tricotomía: | $\bm{\forall \,a, b \in \RR}$, una Y SOLO UNA de las relaciones .............................. se cumple: .............................. && \smash{\bm{a < b \quad,\quad a = b \quad,\quad b < a}} && |
O2. Transitividad: | &&\text{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, b < c \quad\Rightarrow\quad a < c}&& |
O3. Monotonía .......de la adición: | &&\text{Si: } \bm{a < b \quad\Rightarrow\quad a + c < b + c}&& |
O4. Monotonía de la .......multiplicación: | &&\text{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, c > 0 \quad\Rightarrow\quad a\cdot c < b\cdot c}&& |
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Necesitaremos estas últimas definiciones (de abajo) para que sea cómodo demostrar los próximos teoremas y resolver los ejercicios, los cuales en su mayoría son demostraciones.
Redefiniendo las Desigualdades con Relación: <, >, ≤ , ≥
Las clásicas cuatro desigualdades se redefinen para ayudar a simplificar los pasos de demostración de los teoremas siguientes. En alguno de dichos pasos encontraremos referencias (enlaces internos) a estas definiciones o propiedades.
La relación ‘menor que’ (<) , y ‘mayor que’ (>)
es positivo. | |
es positivo. |
La relación ‘menor o igual que’ (≤) , y ‘mayor o igual que’ (≥)
A continuación presentaremos 6 teoremas cuya demostración será clave para entender, de la mejor manera posible, la resolución paso a paso de los próximos 10 ejercicios. Dedicar la mayor atención posible.
Suma de desigualdades
Sean los números reales se cumple:
Paso | ........Acción.......... | Justificación |
---|---|---|
1°) | por hipótesis | |
2°) | 1°) y (Axiomas de orden) | |
3°) | por hipótesis | |
4°) | 3°) y (Axiomas de orden) | |
5°) | 2°), 4°) y (Axiomas de orden) |
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Propiedad de inversión de la desigualdad
Dados los números reales se cumple:
Paso | ........Acción.............................. | Justificación |
---|---|---|
1°) | por hipótesis | |
2°) | 1° y Definition 2 | |
3°) | 2° y (Axiomas de orden) | |
4°) | y (A. de suma) | |
5°) | 4° y (A. de suma) | |
5°) | 5° y (A. de suma) |
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Multiplicación por un número negativo en desigualdades
Teorema 3. [Multiplicación por negativo]
Todo multiplicador negativo invierte el sentido de una desigualdad. Esto formalmente se enuncia como: Para toda terna de números reales se cumple:
. |
Paso | ........Acción............ | Justificación |
---|---|---|
1°) | por hipótesis | |
2°) | por hipótesis | |
3°) | 2° y la Inversión de la desigualdad. | |
4°) | 1°, 3°, (Axiomas de orden) | |
5°) | 4° y la Inversión de la desigualdad. |
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Propiedad de positividad de los cuadrados
Teorema 4. [Positividad de los cuadrados]
Para todo número real se cumple que:
.....Si , entonces: |
Paso | ..............Acción.................... | Justificación |
---|---|---|
1°) | por hipótesis | |
2°) | 1° y (Axiomas de orden) | |
3°) | Si | 2° y (Axiomas de orden). |
4°) | 3°, y ejercicio 2 (post anterior) | |
5°) | Si | 2° y el teorema de (Inversión de la desigualdad) |
6°) | 5° y (Axiomas de orden). | |
7°) | 6°, y ejercicios: 2 y 5 (post anterior) . |
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Signo del Inverso Multiplicativo de un Número Real
Teorema 5. [Signo del inverso]
Si y , entonces el inverso multiplicativo tiene el mismo signo que el número real . Esto significa que:
- (i).. Si , entonces .
- (ii). Si , entonces .
Parte (i)
Paso | ..............Acción.................... | Justificación |
---|---|---|
1°) | por hipótesis | |
2°) | hipótesis auxiliar (neg. consecuente) | |
3°) | 1°, 2° y Teorema 3 (Mult. por negativo). | |
4°) | 3° y (, post anterior) es un absurdo | |
5°) | por 2° y 4° | |
6°) | 1° y 5° |
La parte (ii) es similar, se le deja de ejercicio al lector.
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Comparación de los Inversos de Dos Números del Mismo Signo
Este teorema describe la relación entre los inversos de dos números reales del mismo signo. Si y son ambos positivos o ambos negativos, y , entonces el inverso de es mayor que el inverso de . Esto ayuda a comprender cómo se comportan los inversos en diferentes situaciones.
Teorema 6. [Comparación de los Inversos]
Para , donde y tienen el mismo signo, se cumple que:
si . .. entonces .. . |
Parte (i)
Paso | ..............Acción.................... | Justificación |
---|---|---|
1°) | por hipótesis | |
2°) | hipótesis auxiliar (neg. consecuente) | |
3°) | 1°, 2° y Teorema 3 (Mult. por negativo). | |
4°) | 3° y (, post anterior) es un absurdo | |
5°) | por 2° y 4° | |
6°) | 1° y 5° |
La parte (ii) es similar, se le deja de ejercicio al lector.
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