1. Conceptos previos y recapitulación
1.1 Los números reales y la recta real
Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una correspondencia, es decir:
Si sobre una recta se fija su origen "O", una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto.
1.2 Notación para los conjuntos de números
La típica escritura en "doble línea" caracteriza a los conjuntos numéricos que conforman al conjunto R
- \(\mathbb{N}\) : Conjunto de los números naturales.
- \(\mathbb{Z}\) : Conjunto de los números enteros.
- \(\mathbb{Q}\) : Conjunto de los números racionales.
- \(\mathbb{I}\) : Conjunto de los números irracionales.
- \(\mathbb{R}\) : Conjunto de los números reales.
1.3 Esquema conjuntista de los números reales
Básicamente el conjunto \( \mathbb{R} \) es una reunión disjunta (sin intersecciones) de 2 grandes conjuntos: el conjunto \( \mathbb{Q} \) y el conjunto \( \mathbb{I} \), los racionales y los no racionales. Ver el diagrama siguiente.
1.4 Desigualdades
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación \(\bm{a < b}\) significa que sobre una recta numérica el punto \(\bm{A}\) corresponde al número \(\bm{a}\) que se encuentra a la izquierda del punto \(\bm{B}\) correspondiente al número \(\bm{b}\).
El símbolo \( (<) \) que lee es menor que forma parte del grupo siguiente:
- \( (<)\, \) se lee: es menor que.
- \( (>)\, \) se lee: es mayor que.
- \( (\leq)\, \) se lee: es menor o igual que.
- \( (\geq)\, \) se lee: es mayor que.
1.5 Definición (número positivo y negativo)
- Un número real es positivo si \(\bm{a>0}\)
- Un número real es negativo si \(\bm{a<0}\)
1.6 Definición (Desigualdad)
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. Por ejemplo \(\bm{5 < 9}\).
Los axiomas de orden se mencionaron en el post anterior de números reales pero es importante recalcarlos ahora.
Necesitaremos unas dos últimas definiciones para demostrar los próximos siete teoremas y finalmente resolver los ejercicios, los cuales en su mayoría son demostraciones.
2. Redefiniendo las Desigualdades con Relación: <, >, ≤ , ≥
Las clásicas cuatro desigualdades se redefinen para ayudar a simplificar los pasos de demostración de los teoremas siguientes. En alguno de dichos pasos encontraremos referencias (enlaces internos) a estas definiciones o propiedades. Nótese además la conexión con la definición 1.5
2.1 La relación 'menor que' (<) , y 'mayor que' (>)
- \( \bm{a < b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{b - a} \) es positivo.
- \( \bm{a > b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{a - b} \) es positivo.
2.2 La relación 'menor o igual' (≤) , y 'mayor o igual' (≥)
- \( \bm{a \leq b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{a = b} \; \textcolor{blue}{\lor} \; \bm{a < b} \)
- \( \bm{a \geq b} \textcolor{#8B0000}{\iff} \bm{a > b} \; \textcolor{blue}{\lor} \; \bm{a = b} \)
3. Axiomas de la relación de orden
3.1 Axiomas de orden en R
Para toda terna de números reales \(\bm{a, b, c\,}\) se tiene los 4 axiomas de la relación de orden (desigualdades):
- Tricotomía: \[\begin{array}{c}\textsf{Para todo }\bm{\,a, b \in \RR,} \\ \textsf{una \textbf{y solo una} de las relaciones se cumple}\\ \bm{a < b \quad,\quad a = b \quad,\quad b < a} \end{array}\]
- Transitividad: \[\textsf{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, b < c \quad\Rightarrow\quad a < c}\]
- Monotonía de la adición: \[\textsf{Si: } \bm{a < b \quad\Rightarrow\quad a + c < b + c}\]
- Monotonía de la multiplicación: \[\textsf{Si: } \bm{a < b \;\,\wedge\;\, c > 0 \quad\Rightarrow\quad a\cdot c < b\cdot c}\]
3.2 Corolario O4.1 (Producto de dos números positivos)
Si \( \bm{x \in \mathbb{R}} \) y \( \bm{y \in \mathbb{R}} \), entonces se cumple que: \[ \textsf{Si } \bm{x > 0 \;\land\; y > 0,} \quad \textsf{entonces } \quad \bm{xy > 0.} \] Es decir, el producto de dos números reales positivos es también positivo.
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \( x > 0 \) | Por hipótesis. |
| 2° | \( y > 0 \) | Por hipótesis. |
| 3° | \( x \cdot y > 0 \cdot y \) | De 1° (considerando \(x > 0\)) y 2° (multiplicando por \(y > 0\)), por Axioma O4. |
| 4° | \( 0 \cdot y = 0 \) | Propiedad de la Multiplicación por cero (ver Ej. 2 del post anterior o Axioma Absorbente). |
| 5° | \( \therefore \; xy > 0 \) | De 3° y 4°, por sustitución. |
4. Teoremas escenciales
A continuación presento 6 teoremas en cuya demostración está la clave para entender la resolución paso a paso de los próximos 10 ejercicios. Dedicar la mayor atención posible.
4.1 Teorema (Suma de desigualdades)
Sean los números reales \(\bm{a,b,c,d\,};\) se cumple: \[\boxed{\begin{array}{c} \bm{a} < \bm{c} \\ \textcolor{#8B0000}{\scriptstyle\land} \\ \bm{b} < \bm{d} \\ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow} \\ \bm{a} + \bm{b} < \bm{c} + \bm{d} \end{array}}\]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a < c}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{a + b < b + c}\) | 1° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 3° | \(\bm{b < d}\) | por hipótesis |
| 4° | \(\bm{b + c < c + d}\) | 3° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 5° | \(\bm{a + b < c + d}\) | 2°, 4° y \(\bm{O_2}\) (Axiomas de orden) |
4.2 Teorema (Inversión de la desigualdad)
Dados los números reales \(\bm{a,b\,};\) se cumple: \[\boxed{ \begin{array}{c} \text{Si }\bm{a < b} \\ \bm{\color{blue}{\Leftrightarrow}} \\ \bm{-a>-b} \end{array} }\]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a < b}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{b-a>0}\) | 1° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 3° | \(\bm{(b-a)+(-b)>0+(-b)}\) | por hipótesis |
| 4° | \(\bm{-a + (b + (-b)) > -b}\) | 3° y \(\bm{O_3}\) (Axiomas de orden) |
| 5° | \(\bm{-a + 0 > -b}\) | 2°, 4° y \(\bm{O_2}\) (Axiomas de orden) |
| 6° | \(\bm{-a > -b}\) | 2°, 4° y \(\bm{O_2}\) (Axiomas de orden) |
4.3 Teorema (Multiplicación por un número negativo)
Todo multiplicador negativo invierte el sentido de una desigualdad. Esto formalmente se enuncia como: Para toda terna de números reales \(\bm{a, b, c\,};\) se cumple: \[\boxed{ \begin{array}{lll} \begin{array}{c} \bm{a < b} \\ \bm{\color{purple}{\scriptstyle\land}} \\ \bm{c < 0} \end{array} & \bm{{\color{blue}{\Rightarrow}}} & \bm{a\cdot c > b\cdot c } \end{array} } \]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a < b}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{c<0}\) | por hipótesis |
| 3° | \(\bm{-c>0}\) | 2° y la Inversión de la desigualdad. |
| 4° | \(\bm{-a\cdot c<-b\cdot c}\) | 1°, 3°, \(\bm{O_4}\) (Axiomas de orden) |
| 5° | \(\bm{a\cdot c>b\cdot c}\) | 4° y la Inversión de la desigualdad. |
4.4 Teorema (Positividad de los cuadrados)
Para todo número real \(\bm{a}\) se cumple que: \[\textsf{Si } \;\bm{a\neq 0,}\, \textsf{entonces: } \,\bm{a^2 > 0} \]
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{a \neq 0}\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{ a > 0 \lor a < 0 }\) | 1° y \(\bm{O_1}\) (Axiomas de orden) |
| 3° | Si \(\bm{a > 0 } \Rightarrow \bm{a \cdot a > 0 \cdot a}\) | 2° y \(\bm{O_4}\) (Axiomas de orden). |
| 4° | \(\bm{a^2 > 0}\) | 3°, y el ejercicio 2 del post anterior |
| 5° | Si \(\bm{ a < 0 \Rightarrow -a > 0 }\) | 2° y el teorema de (Inversión de la desigualdad) |
| 6° | \(\bm{(-a)(-a) > 0 \cdot (-a)}\) | 5° y \(\bm{O_4}\) (Axiomas de orden). |
| 7° | \(\bm{a^2 > 0}\) | 6°, y ejercicios: 2 y 5 (post anterior) . |
4.5 Teorema (Signo del Inverso Multiplicativo)
Si \(\bm{a \in \mathbb{R}}\) y \(\bm{a \neq 0}\), entonces el inverso multiplicativo \(\bm{a^{-1}}\) tiene el mismo signo que el número real \(\bm{a}\). Esto significa que:
- Si \(\bm{a > 0}\), entonces \(\bm{a^{-1} > 0}\).
- Si \(\bm{a < 0}\), entonces \(\bm{a^{-1} < 0}\).
Demostración. En efecto:
Parte (i)
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(\bm{ a > 0 }\) | por hipótesis |
| 2° | \(\bm{ a^{-1} < 0 }\) | hipótesis auxiliar (neg. consecuente) |
| 3° | \(\bm{ a \cdot a^{-1} < 0 }\) | 1°, 2° y Teorema 3 (Mult. por negativo). |
| 4° | \(\bm{ 1 < 0 }\) | 3° y \(\bm{M_5}\) del post anterior a es un absurdo |
| 5° | \(\bm{ a^{-1} > 0 }\) | por 2° y 4° |
| 6° | \(\bm{\therefore\; a > 0 \Rightarrow a^{-1} > 0 }\) | 1° y 5° |
La parte (ii) es similar, se le deja de ejercicio al lector.
4.6 Teorema (Comparación de los inversos de números del mismo signo)
Para \(\bm{ a, b \in \mathbb{R} }\), donde \(\bm{a }\) y \(\bm{ b }\) tienen el mismo signo, se cumple que: \[\textsf{Si } \,\bm{ a < b }\, \textsf{ entonces } \,\bm{ a^{-1} > b^{-1}.}\]
Este teorema describe la relación entre los inversos de dos números reales del mismo signo. Si \( \bm{a} \) y \( \bm{b} \) son ambos positivos o ambos negativos, y \( \bm{a < b} \), entonces el inverso de \( \bm{a} \) es mayor que el inverso de \( \bm{b} \). Esto ayuda a comprender cómo se comportan los inversos en diferentes situaciones.
Demostración. En efecto:
Se consideran dos casos según el signo de \(a\) y \(b\).
Caso 1: \( a > 0\;\) y \(\;b > 0 \) (ambos positivos)
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \( a < b \) | Por hipótesis |
| 2° | \( a > 0 \;\land\; b > 0 \) | Por hipótesis del Caso 1 |
| 3° | \( a^{-1} > 0 \;\land\; b^{-1} > 0 \) | 2° y Teorema 4.5 (i) |
| 4° | \( a \cdot a^{-1} < b \cdot a^{-1} \) | 1°, 3° (usando \(a^{-1} > 0\)) y Axioma O4 |
| 5° | \( (a \cdot a^{-1}) \cdot b^{-1} < (b \cdot a^{-1}) \cdot b^{-1} \) | 4°, 3° (usando \(b^{-1} > 0\)) y Axioma O4 |
| 6° | \( (a \cdot a^{-1}) \cdot b^{-1} < (b \cdot b^{-1}) \cdot a^{-1} \) | 5°, Axiomas M2, M3 |
| 7° | \( 1 \cdot b^{-1} < 1 \cdot a^{-1} \) | 6° y Axioma M4 |
| 8° | \( b^{-1} < a^{-1} \) | 7° y Axioma M5 |
| 9° | \( \therefore \; a^{-1} > b^{-1} \) | 8°, reordenando |
Caso 2: \( a < 0\;\) y \(\;b < 0 \) (ambos negativos)
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \( a < b \) | Por hipótesis |
| 2° | \( a < 0 \;\land\; b < 0 \) | Por hipótesis del Caso 2 |
| 3° | \( a^{-1} < 0 \;\land\; b^{-1} < 0 \) | 2° y Teorema 4.5 (ii) |
| 4° | \( a \cdot a^{-1} > b \cdot a^{-1} \) | 1°, 3° (usando \(a^{-1} < 0\)) y Teorema 4.3 |
| 5° | \( (a \cdot a^{-1}) \cdot b^{-1} < (b \cdot a^{-1}) \cdot b^{-1} \) | 4°, 3° (usando \(b^{-1} < 0\)) y Teorema 4.3 |
| 6° | \( (a \cdot a^{-1}) \cdot b^{-1} < (b \cdot b^{-1}) \cdot a^{-1} \) | 5°, Axiomas M2, M3 |
| 7° | \( 1 \cdot b^{-1} < 1 \cdot a^{-1} \) | 6° y Axioma M4 |
| 8° | \( b^{-1} < a^{-1} \) | 7° y Axioma M5 |
| 9° | \( \therefore \; a^{-1} > b^{-1} \) | 8°, reordenando |
Dado que en ambos casos se llega a la misma conclusión (\(a^{-1} > b^{-1}\)) bajo la hipótesis \(a < b\) (con \(a, b\) del mismo signo), el teorema queda demostrado.
8. Productos notables
Antes de pasar a la sección de ejercicios es importante repasar algunas fórmulas del algebra de la secundaria conocidas como productos notables, los cuales se cumplen enteramente en el conjunto \(\RR\) y cuya demostración, por ahora, se va a prescindir.
8.1 Expresiones de segundo grado
Podemos mencionar:
- \(\;\bm{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}\) \(\,\rightarrow\;\) Diferencia de cuadrados.
- \(\;\bm{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\) \(\,\rightarrow\;\) Cuadrado de la suma.
- \(\;\bm{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\) \(\,\rightarrow\;\) Cuadrado de la diferencia.
9. Ejercicios Explicativos.
Ejercicio 01
Para todo \( \bm{a,\,b\in\RR} \) tales que \(\bm{a\geq b\geq 0}\), demostrar que: \(\bm{a^2\geq b^2}.\)
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \(a \ge b \ge 0 \,\Rightarrow\, a \ge 0 \;\land\; b \ge 0\) | hipótesis. |
| 2° | \(a \ge b \;\Rightarrow\; a + b \ge 2b\) | sumando \(\bm{b}\) a ambos lados. |
| 3° | \(a + b \ge 2b \;\land\; b \ge 0 \;\Rightarrow\; a + b \ge 0\) | Axioma O2 (transitividad). |
| 4° | \(a \ge b \;\Rightarrow\; a - b \ge 0\) | hipótesis. |
| 5° | \((a + b)(a - b) \ge 0 \cdot (a - b)\) | 2°, 3° y el Axioma O4. |
| 6° | \(a^2 - b^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; a^2 \ge b^2\) | Diferencia de cuadrados (C1). |
| 7° | \(\therefore \textsf{ Si } \bm{a \ge b \ge 0} \;\Rightarrow\; \bm{a^2 \ge b^2}\) | 1° y 6°. |
Ejercicio 02
Si \(\;\bm{a > 0},\,\) \(\;\bm{b > 0}\;\) y \(\;\bm{a^2 > b^2},\;\) demostrar que: \(\;\bm{a > b} \).
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \( a^2 > b^2 \) | Por hipótesis. |
| 2° | \( \bm{a^2 - b^2 > 0} \) | 1° y Definición 3.1 (ii) (restando \(b^2\)). |
| 3° | \( (a+b)(a-b) > 0 \) | 2° y Diferencia de cuadrados (C1). |
| 4° | \( a > 0 \;\land\; b > 0 \) | Por hipótesis. |
| 5° | \( a+b > 0 \) | 4° y Teorema 4.1 (Suma de desigualdades) |
| 6° | \( \bm{(a+b)^{-1} > 0} \) | 5° y Teorema 4.5 (i) (Signo del Inverso). |
| 7° | \( (a+b)(a-b) \cdot (a+b)^{-1} > 0 \cdot (a+b)^{-1} \) | De 2°, 6° y el Axioma O4. |
| 8° | \( [(a+b)(a+b)^{-1}](a-b) > 0 \) | 7°, Asociatividad y Conmutatividad (Axiomas M2, M3). |
| 9° | \( 1 \cdot (a-b) > 0 \) | 8° y Axioma M4 (Inverso multiplicativo). |
| 10° | \( a-b > 0 \) | 9° y Axioma M5 (Neutro multiplicativo). |
| 11° | \( a > b \) | 10° y Definición 3.1 (ii) (sumando \(b\)). |
| 12° | \( \therefore \textsf{ Si } \bm{a > 0,\;b > 0 \land a^2 > b^2} \;\Rightarrow\; \bm{a > b} \) | Conclusión de los pasos. |
Ejercicio 03
Si \(\;\bm{b > a > 0}\;\) y \(\;\bm{c > 0}\), demostrar que: \(\;{\displaystyle \bm{\frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b}}} \).
Demostración. En efecto:
| Paso | Acción | Justificación |
|---|---|---|
| 1° | \( b > a > 0 \;\land\; c > 0 \) | Por hipótesis. |
| 2° | \( b > a \) | De 1°. |
| 3° | \( b \cdot c > a \cdot c \) | 2°, 1° (usando \(c > 0\)) y Axioma O4. |
| 4° | \( a > 0 \;\land\; b > 0 \) | De 1°. |
| 5° | \( ab > 0 \) | 4° y Corolario O4.1. |
| 6° | \( bc + ab > ac + ab \) | 3°, 5° y Axioma O3 (sumando \(ab\) a ambos lados de 3°). |
| 7° | \( b(c+a) > a(c+b) \) | 6° y distributiva (Axioma 4.2). |
| 8° | \( b > 0 \;\land\; (b+c) > 0 \) | De 1° (ya que \(b>0, c>0 \Rightarrow b+c > 0\) por Teorema 4.1). |
| 9° | \( b^{-1} > 0 \;\land\; (b+c)^{-1} > 0 \) | 8° y Teorema 4.5 (i). |
| 10° | \( b(a+c) \cdot b^{-1}(b+c)^{-1} > a(b+c) \cdot b^{-1}(b+c)^{-1} \) | 7°, 9° (ya que \(b^{-1}(b+c)^{-1} > 0\)) y Axioma O4. |
| 11° | \( (b \cdot b^{-1})(a+c)(b+c)^{-1} > (a \cdot b^{-1}) [ (b+c)(b+c)^{-1} ] \) | 10°, Asociatividad y Conmutatividad (Axiomas M2, M3). |
| 12° | \( 1 \cdot (a+c)(b+c)^{-1} > (a \cdot b^{-1}) \cdot 1 \) | 11° y el Axioma M5 opuesto multip. |
| 13° | \( \frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b} \) | 12° y Definición de división (post anterior). |
| 14° | \( \therefore \textsf{ Si } \bm{b > a > 0 \land c > 0} \;\Rightarrow\; \bm{\frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b}} \) | Conclusión de los pasos. |
Demostración Resumida (Alternativa):
Queremos demostrar que si \(\;\bm{b > a > 0}\;\) y \(\;\bm{c > 0}\), entonces \[ \bm{\frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b}}. \] Esta desigualdad es equivalente a demostrar que \(\;\bm{b(a+c) > a(b+c)},\;\) asumiendo que \(\;\bm{b > 0}\;\) y \(\; \bm{b+c > 0}\;\) (lo cual es cierto por hipótesis, ya que \(\;b>0, \,c>0 \;\Rightarrow\; b+c > 0\;\) por Corolario O4.1 o Teorema 4.1, y sus inversos son positivos por Teorema 4.5).
En efecto, expandiendo \( \bm{b(a+c) > a(b+c)} \), obtenemos: \[ \bm{ab + bc > ab + ac} \] Restando \( \bm{ab} \) de ambos lados (por Axioma O3), la desigualdad se reduce a: \[ \bm{bc > ac} \] Dado que \( \bm{c > 0} \) por hipótesis, podemos multiplicar por \( \bm{c^{-1}} > 0 \) (por Teorema 4.5) sin cambiar el sentido de la desigualdad (por Axioma O4): \[ \bm{bc \cdot c^{-1} > ac \cdot c^{-1}} \] \[ \bm{b(c \cdot c^{-1}) > a(c \cdot c^{-1})} \] \[ \bm{b \cdot 1 > a \cdot 1} \] \[ \bm{b > a} \] Lo cual es cierto por hipótesis. Como todos los pasos son reversibles (o se basan en equivalencias bajo las condiciones dadas), la proposición original queda demostrada.