La Representación de los Números Reales

Demostración. En efecto:

Se consideran dos casos según el signo de \(a\) y \(b\).

Caso 1: \( a > 0\;\) y \(\;b > 0 \) (ambos positivos)

Caso 2: \( a < 0\;\) y \(\;b < 0 \) (ambos negativos)

Dado que en ambos casos se llega a la misma conclusión (\(a^{-1} > b^{-1}\)) bajo la hipótesis \(a < b\) (con \(a, b\) del mismo signo), el teorema queda demostrado.

Demostración. En efecto:

Demostración. En efecto:

Demostración. En efecto:

Demostración Resumida (Alternativa):

Queremos demostrar que si \(\;\bm{b > a > 0}\;\) y \(\;\bm{c > 0}\), entonces \[ \bm{\frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b}}. \] Esta desigualdad es equivalente a demostrar que \(\;\bm{b(a+c) > a(b+c)},\;\) asumiendo que \(\;\bm{b > 0}\;\) y \(\; \bm{b+c > 0}\;\) (lo cual es cierto por hipótesis, ya que \(\;b>0, \,c>0 \;\Rightarrow\; b+c > 0\;\) por Corolario O4.1 o Teorema 4.1, y sus inversos son positivos por Teorema 4.5).

En efecto, expandiendo \( \bm{b(a+c) > a(b+c)} \), obtenemos: \[ \bm{ab + bc > ab + ac} \] Restando \( \bm{ab} \) de ambos lados (por Axioma O3), la desigualdad se reduce a: \[ \bm{bc > ac} \] Dado que \( \bm{c > 0} \) por hipótesis, podemos multiplicar por \( \bm{c^{-1}} > 0 \) (por Teorema 4.5) sin cambiar el sentido de la desigualdad (por Axioma O4): \[ \bm{bc \cdot c^{-1} > ac \cdot c^{-1}} \] \[ \bm{b(c \cdot c^{-1}) > a(c \cdot c^{-1})} \] \[ \bm{b \cdot 1 > a \cdot 1} \] \[ \bm{b > a} \] Lo cual es cierto por hipótesis. Como todos los pasos son reversibles (o se basan en equivalencias bajo las condiciones dadas), la proposición original queda demostrada.

Demostración. En efecto:

1°. Usando la hipótesis que \( \bm{\frac{a}{b} > \frac{c}{d}} \) y dado que \(\;\bm{b > 0} \), \(\;\bm{d > 0}, \) aplicamos el Corolario O4.1 por lo que la desigualdad no se altera: \[ \bm{\frac{a}{b} \cdot bd > \frac{c}{d} \cdot bd} \]

2°. Simplificando, obtenemos: \[ \bm{ad > bc}\]

3°. Por el Corolario O4.1 \( \bm{\;cd > 0},\,\) entonces podemos sumar \(\,\bm{cd}\,\) a ambos lados de la desigualdad del paso 2° en vista del Axioma O3: \[ \bm{ad + cd > bc + cd} \]

4°. Factorizando por el Axioma 4.2 en ambos lados del paso 3°: \[ \bm{d(a+c) > c(b+d)}\]

5°. Por el teorema Teorema 4.1 \(\;\bm{b>0,\;d>0 \;\Rightarrow\; b+d > 0}\), y por el Corolario O4.1 \( \bm{d(b+d)} > 0 \), entonces aplicando el Teorema 4.5 (i) de los inversos multiplicativos \[ \bm{(d(b+d))^{-1}} > 0\]

6°. En vista del Axioma O4, multiplicamos \( \bm{(d(b+d))^{-1}} \) a ambos lados de la desigualdad del paso 4°: \[ \bm{d(a+c) \cdot (d(b+d))^{-1} > c(b+d) \cdot (d(b+d))^{-1}} \] 7°. Entonces, usando los Axiomas de multiplicación, la Definición de división, y el resultado del Ejercicio N° 09 del post anterior, se tendrá: \[ \bm{\frac{d(a+c)}{d(b+d)} > \frac{c(b+d)}{d(b+d)}} \] \[ \therefore\;\, \bm{\frac{a+c}{b+d} > \frac{c}{d}} \]

Lo que queda demostrado.

Demostración. En efecto:

1°. Partimos de la propiedad fundamental de que el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero. Específicamente, usando el Cuadrado de la diferencia (C3) o el Teorema 4.4 (Positividad de los cuadrados) aplicado a \((x-y)\):

• \( \forall a,b \in \mathbb{R}, \quad (a-b)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \quad \dots (1) \)
• \( \forall a,c \in \mathbb{R}, \quad (a-c)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 2ac + c^2 \geq 0 \quad \dots (2) \)
• \( \forall b,c \in \mathbb{R}, \quad (b-c)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 - 2bc + c^2 \geq 0 \quad \dots (3) \)

2°. Sumamos miembro a miembro las desigualdades (1), (2) y (3). Por el Teorema 4.1 (Suma de desigualdades) extendido a tres o más desigualdades (o aplicando el teorema dos veces): \[ (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) \geq 0 + 0 + 0 \] Agrupando términos semejantes: \[ (a^2+a^2) + (b^2+b^2) + (c^2+c^2) - 2ab - 2ac - 2bc \geq 0 \] \[ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \geq 0 \]

3°. Factorizando el número 2: \[ 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+ac+bc) \geq 0 \]

4°. Sumando \( \bm{2(ab+ac+bc)} \) a ambos lados de la desigualdad (por Axioma O3): \[ 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+ac+bc) \]

5°. Dado que \( \bm{2 > 0} \), podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por \( \bm{2^{-1}} \) (que es \( \bm{\frac{1}{2} > 0} \) por Teorema 4.5) sin alterar el sentido de la desigualdad (por Axioma O4): \[ (a^2+b^2+c^2) \geq (ab+ac+bc) \]

\( \therefore \textsf{ Para } \bm{a,b,c \in \mathbb{R}}, \textsf{ se cumple que } \bm{a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc} \)

Solución.

1°. Dado que \( \bm{a \geq 0} \) y \( \bm{b \geq 0} \), sus raíces cuadradas \( \bm{\sqrt{a}} \) y \( \bm{\sqrt{b}} \) son números reales. Por lo tanto, la diferencia \( \bm{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \) también es un número real.

2°. Sabemos por el Teorema 4.4 (Positividad de los cuadrados) que el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero. Aplicando esto a \( \bm{(\sqrt{a} - \sqrt{b})} \): \[ \bm{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0} \]

3°. Desarrollamos el binomio al cuadrado (usando C3: Cuadrado de la diferencia, \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\), donde \(x=\sqrt{a}\) y \(y=\sqrt{b}\)): \[ (\sqrt{a})^2 - 2(\sqrt{a})(\sqrt{b}) + (\sqrt{b})^2 \geq 0 \] Dado que \(a \geq 0\) y \(b \geq 0\), tenemos \((\sqrt{a})^2 = a\) y \((\sqrt{b})^2 = b\). También, por propiedades de los radicales, \(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Sustituyendo: \[ \bm{a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0} \]

4°. Sumando \( \bm{2\sqrt{ab}} \) a ambos lados de la desigualdad (por Axioma O3): \[ \bm{a+b \geq 2\sqrt{ab}} \]

5°. Dado que \( \bm{2 > 0} \), podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por \( \bm{2^{-1}} \) (es decir, \(\bm{\frac{1}{2}}\), que es positivo por Teorema 4.5) sin alterar el sentido de la desigualdad (por Axioma O4): \[ \bm{\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}} \]

\( \therefore \textsf{ Para } \bm{a,b \geq 0}, \textsf{ se cumple que } \bm{\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}} \)

Demostración. En efecto:

La demostración se divide en dos partes:

Parte 1: Demostrar que \( \bm{a < \frac{a+b}{2}} \)

1.1. Partimos de la hipótesis \( \bm{a < b} \).

1.2. Sumamos \( \bm{a} \) a ambos lados de la desigualdad (por Axioma O3): \[ a+a < b+a \] \[ \bm{2a < a+b \quad \dots (1)} \]

1.3. Dado que \( \bm{2 > 0} \), podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad (1) por \( \bm{2^{-1}} = \frac{1}{2} \) (que es positivo por Teorema 4.5) sin alterar el sentido de la desigualdad (por Axioma O4): \[ 2a \cdot \frac{1}{2} < (a+b) \cdot \frac{1}{2} \] \[ \bm{a < \frac{a+b}{2}} \]

Parte 2: Demostrar que \( \bm{\frac{a+b}{2} < b} \)

2.1. Nuevamente, partimos de la hipótesis \( \bm{a < b} \).

2.2. Sumamos \( \bm{b} \) a ambos lados de la desigualdad (por Axioma O3): \[ a+b < b+b \] \[ \bm{a+b < 2b \quad \dots (2)} \]

2.3. Similarmente, multiplicamos ambos lados de la desigualdad (2) por \( \bm{\frac{1}{2} > 0} \) (por Axioma O4): \[ (a+b) \cdot \frac{1}{2} < 2b \cdot \frac{1}{2} \] \[ \bm{\frac{a+b}{2} < b} \]

Conclusión:

De la Parte 1 tenemos \( \bm{a < \frac{a+b}{2}} \) y de la Parte 2 tenemos \( \bm{\frac{a+b}{2} < b} \). Combinando ambas desigualdades por Axioma O2 (Transitividad), obtenemos: \[ \bm{a < \frac{a+b}{2} < b} \]

\( \therefore \textsf{ Si } \bm{a < b}, \textsf{ entonces } \bm{a < \frac{a+b}{2} < b} \)

Demostración. En efecto:

1°. Partimos nuevamente de la propiedad de que el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero (Teorema 4.4), lo que implica que \( (x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+y^2 \geq 2xy \). Aplicamos esto dos veces:

• Para \(a, c \in \mathbb{R}\): \( \quad (a-c)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2+c^2 \geq 2ac \quad \dots (1) \)
• Para \(b, d \in \mathbb{R}\): \( \quad (b-d)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad b^2+d^2 \geq 2bd \quad \dots (2) \)

2°. Sumamos miembro a miembro las desigualdades (1) y (2) (por Teorema 4.1 aplicado dos veces o su generalización): \[ (a^2+c^2) + (b^2+d^2) \geq 2ac + 2bd \] Reagrupando los términos del lado izquierdo por conmutatividad y asociatividad de la suma: \[ (a^2+b^2) + (c^2+d^2) \geq 2(ac+bd) \]

3°. Por hipótesis del problema, tenemos que \( \bm{a^2+b^2=1} \) y \( \bm{c^2+d^2=1} \). Sustituimos estos valores en la desigualdad obtenida en el paso anterior: \[ 1 + 1 \geq 2(ac+bd) \] \[ \bm{2 \geq 2(ac+bd)} \]

4°. Dado que \( \bm{2 > 0} \), podemos multiplicar ambos lados de la desigualdad por \( \bm{2^{-1}} = \frac{1}{2} \) (que es positivo) sin alterar el sentido de la desigualdad (por Axioma O4): \[ 2 \cdot \frac{1}{2} \geq 2(ac+bd) \cdot \frac{1}{2} \] \[ \bm{1 \geq ac+bd} \]

\( \therefore \textsf{ Si } \bm{a^2+b^2=1 \text{ y } c^2+d^2=1}, \textsf{ entonces } \bm{1 \geq ac+bd} \)

Demostración. En efecto:

1°. Dado que \(a,b,c,d \in \mathbb{R}^+\) y \(n \in \mathbb{Z}^+\), entonces \(a^n, b^n, c^n, d^n\) son todos números reales positivos. Partimos de la propiedad \( (x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+y^2 \geq 2xy \), que es una consecuencia directa del Teorema 4.4 y el desarrollo de un binomio (C3).

Aplicamos esta propiedad a los pares \( (a^n, b^n) \) y \( (c^n, d^n) \):

• Para \(a^n, b^n\): \( \quad (a^n-b^n)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad (a^n)^2 + (b^n)^2 \geq 2a^n b^n \)
  \( \qquad \Rightarrow \quad \bm{a^{2n} + b^{2n} \geq 2a^n b^n \quad \dots (1)} \)
• Para \(c^n, d^n\): \( \quad (c^n-d^n)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad (c^n)^2 + (d^n)^2 \geq 2c^n d^n \)
  \( \qquad \Rightarrow \quad \bm{c^{2n} + d^{2n} \geq 2c^n d^n \quad \dots (2)} \)

2°. Sumamos miembro a miembro las desigualdades (1) y (2) (por Teorema 4.1): \[ (a^{2n} + b^{2n}) + (c^{2n} + d^{2n}) \geq 2a^n b^n + 2c^n d^n \] \[ \bm{a^{2n} + b^{2n} + c^{2n} + d^{2n} \geq 2(a^n b^n + c^n d^n) \quad \dots (3)} \]

3°. Ahora, consideremos los términos \( \bm{X = a^n b^n} \) e \( \bm{Y = c^n d^n} \). Ya que \(a,b,c,d,n\) son positivos, \(X > 0\) e \(Y > 0\). Aplicamos la Desigualdad de Medias Aritmética-Geométrica (Ejercicio 06), que establece que \( \frac{X+Y}{2} \geq \sqrt{XY} \), o equivalentemente, \( X+Y \geq 2\sqrt{XY} \): \[ a^n b^n + c^n d^n \geq 2\sqrt{(a^n b^n)(c^n d^n)} \] Simplificando el radical: \( \sqrt{a^n b^n c^n d^n} = \sqrt{(abcd)^n} = (abcd)^{n/2} \). Por lo tanto: \[ \bm{a^n b^n + c^n d^n \geq 2(abcd)^{n/2} \quad \dots (4)} \]

4°. Sustituimos la desigualdad (4) en la desigualdad (3): \[ a^{2n} + b^{2n} + c^{2n} + d^{2n} \geq 2 \left( 2(abcd)^{n/2} \right) \] \[ \bm{a^{2n} + b^{2n} + c^{2n} + d^{2n} \geq 4(abcd)^{n/2}} \]

\( \therefore \textsf{ Para } \bm{a,b,c,d \in \mathbb{R}^+ \text{ y } n \in \mathbb{Z}^+}, \textsf{ se cumple siempre que: }\)
\[\bm{a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}+d^{2n} \geq 4(abcd)^{n/2}} \]

Demostración. En efecto:

1°. Dado que \( \bm{a, b, c > 0} \), podemos aplicar la Desigualdad de Medias Aritmética-Geométrica (Ejercicio 06), que establece \( \bm{\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}} \), o equivalentemente \( \bm{x+y \geq 2\sqrt{xy}} \), para los siguientes pares de números positivos:

• Para \(b\) y \(c\): \( \quad b+c \geq 2\sqrt{bc} \quad \dots (A) \)
• Para \(a\) y \(c\): \( \quad a+c \geq 2\sqrt{ac} \quad \dots (B) \)
• Para \(a\) y \(b\): \( \quad a+b \geq 2\sqrt{ab} \quad \dots (C) \)

2°. Multiplicamos miembro a miembro las desigualdades (A), (B) y (C). Dado que todos los términos son positivos, el sentido de la desigualdad se mantiene (esto es una extensión del Axioma O4): \[ (b+c)(a+c)(a+b) \geq (2\sqrt{bc})(2\sqrt{ac})(2\sqrt{ab}) \] Simplificando el lado derecho: \[ (2\sqrt{bc})(2\sqrt{ac})(2\sqrt{ab}) = 8 \sqrt{bc \cdot ac \cdot ab} = 8 \sqrt{a^2 b^2 c^2} = 8 \sqrt{(abc)^2} \] Dado que \(a,b,c > 0\), entonces \(abc > 0\), por lo que \( \sqrt{(abc)^2} = abc \). Así, la desigualdad se convierte en: \[ \bm{(b+c)(a+c)(a+b) \geq 8abc \quad \dots (1)} \]

3°. Por la hipótesis \( \bm{a+b+c=1} \), podemos expresar los siguientes términos:

\[\left\{\!\!\!\! \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \bm{1-a} = (a+b+c) - a = \bm{b+c} \\ \bm{1-b} = (a+b+c) - b = \bm{a+c} \\ \bm{1-c} = (a+b+c) - c = \bm{a+b} \end{array} & \quad \dots (2) \end{array} \right.\]

4°. Sustituimos las expresiones de (2) en la desigualdad (1): \[ \bm{(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc} \]

\( \therefore \textsf{ Si } \bm{a,b,c > 0 \text{ y } a+b+c=1}, \textsf{ entonces }\) \[ \bm{(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc} \]