Inducción y Deducción Lógica: Dosier Teórico y 30 Problemas Resueltos

Aplicamos el método inductivo analizando los tres primeros casos particulares (de 1, 2 y 3 cifras):

• Caso 1 (1 cifra): $3^2 = 9 \implies \Sigma_1 = 9 = 9(1)$
• Caso 2 (2 cifras): $33^2 = 1089 \implies \Sigma_2 = 1 + 0 + 8 + 9 = 18 = 9(2)$
• Caso 3 (3 cifras): $333^2 = 110889 \implies \Sigma_3 = 1 + 1 + 0 + 8 + 8 + 9 = 27 = 9(3)$

Ley de formación general: Para un número compuesto por $n$ cifras $3$, la suma de cifras de su cuadrado es siempre $\Sigma_n = 9n$. Como el número original tiene $n = 6$ cifras: $$\Sigma_6 = 9(6) = \mathbf{54}$$

Aplicamos deducción por invariantes de cifras terminales:

• Cualquier numeral entero terminado en $5$, elevado a cualquier exponente entero positivo, termina invariablemente en $5$: $2025^{2024} = \dots 5$.
• Cualquier numeral entero terminado en $6$, elevado a cualquier exponente entero positivo, termina invariablemente en $6$: $2026^{2025} = \dots 6$.

Sumando las terminaciones: $$R = (\dots 5) + (\dots 6) = \dots 11 \implies \text{Cifra terminal} = \mathbf{1}$$

Extraemos la raíz cuadrada de la condición inicial: si $(a+b+c)^2 = 289$, entonces $a + b + c = \sqrt{289} = 17$.

Disponemos los numerales en suma vertical y operamos orden por orden:

• Unidades: $c + a + b = 17 \implies$ colocamos $\mathbf{7}$ y llevamos $1$.
• Decenas: $b + c + a + 1 = 17 + 1 = 18 \implies$ colocamos $\mathbf{8}$ y llevamos $1$.
• Centenas: $a + b + c + 1 = 17 + 1 = \mathbf{18}$.

Por lo tanto, $M = \mathbf{1887}$.

Aplicamos deducción por paridad y absorción del cinco:

• El producto de números impares da siempre como resultado un número impar.
• Dentro de la multiplicación se encuentra el factor $5$, y todo número impar multiplicado por $5$ termina invariablemente en la cifra $5$ ($5 \times \text{impar} = \dots 5$).

Por lo tanto, $T = \dots \mathbf{5}$.

Calculamos la suma de cifras ($\Sigma$) en cada fila para descubrir la ley inductiva:

• Fila 1 (1 cifra): $\Sigma_1 = 1 = \mathbf{1^2}$
• Fila 2 (2 cifras): $\Sigma_2 = 1 + 2 + 1 = 4 = \mathbf{2^2}$
• Fila 3 (3 cifras): $\Sigma_3 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = \mathbf{3^2}$

Para la Fila $n$ (con $n \le 9$), la suma de cifras es $n^2$. Para la Fila 10, siguiendo el modelo inductivo del problema: $\Sigma_{10} = 10^2 = \mathbf{100}$.

Contamos los cerillos por cada caso y lo relacionamos con los números triangulares multiplicados por $3$:

• Caso 1 (base 1): $3 \text{ cerillos} = 3 \times \dfrac{1(2)}{2}$
• Caso 2 (base 2): $9 \text{ cerillos} = 3 \times \dfrac{2(3)}{2}$
• Caso 3 (base 3): $18 \text{ cerillos} = 3 \times \dfrac{3(4)}{2}$

Fórmula general: $C_n = \dfrac{3n(n+1)}{2}$. Reemplazando para la Figura 10 ($n = 10$): $$C_{10} = \frac{3(10)(11)}{2} = 3 \times 55 = \mathbf{165 \text{ cerillos}}$$

Aplicamos deducción algebraica mediante la identidad de diferencia de cuadrados: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Definimos $x = 2025$, de modo que $2024 = x - 1$ y $2026 = x + 1$. Reemplazando en $K$:

Reconocemos la clásica sucesión de los números triangulares:

• Caso 1 (Fig. 1): $1 = \dfrac{1 \times 2}{2}$
• Caso 2 (Fig. 2): $3 = \dfrac{2 \times 3}{2}$
• Caso 3 (Fig. 3): $6 = \dfrac{3 \times 4}{2}$

Para la figura $n$, la fórmula general es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Evaluando para la Figura 15 ($n = 15$): $$\text{Total}_{15} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = \mathbf{120}$$

Aplicamos inducción analítica combinada con la regla del cuadrado de un número terminado en $5$:

• Caso 1 (1 nueve y un 5): $95^2 = 9025 \implies \Sigma_1 = 9 + 0 + 2 + 5 = 16 = 9(1) + 7$
• Caso 2 (2 nueves y un 5): $995^2 = 990025 \implies \Sigma_2 = 9 + 9 + 2 + 5 = 25 = 9(2) + 7$
• Caso 3 (3 nueves y un 5): $9995^2 = 99900025 \implies \Sigma_3 = 9(3) + 7 = 34$

Ley general: Para un número de $n$ cifras formado por $(n-1)$ cifras nueve y un cinco final, la suma de cifras es $\Sigma = 9(n-1) + 7$. Como $99999995$ tiene $8$ cifras ($7$ nueves y un cinco): $$\Sigma = 9(7) + 7 = 63 + 7 = \mathbf{70}$$

La cifra terminal depende únicamente de la última cifra de la base ($3$). Las potencias de $3$ forman un ciclo de periodo $4$:

Dividimos el exponente $2023$ entre $4$ para hallar el residuo (módulo 4):

Por lo tanto, la expresión termina en la misma cifra que $3^3$, es decir, en $\mathbf{7}$.

Expresamos el factor $9999$ como $(10000 - 1)$ para transformar el producto en una sustracción vertical:

Reconstruyendo las cuatro últimas cifras de derecha a izquierda (considerando los préstamos sucesivos de los ceros):

• Unidades: $10 - d = 1 \implies \mathbf{d = 9}$
• Decenas: $9 - c = 4 \implies \mathbf{c = 5}$
• Centenas: $9 - b = 3 \implies \mathbf{b = 6}$
• Unidades de millar: $9 - a = 2 \implies \mathbf{a = 7}$

Calculamos la suma pedida: $a + b + c + d = 7 + 6 + 5 + 9 = \mathbf{27}$.

El arreglo responde directamente al modelo de conexión doble (Triángulo de Pascal - Base 2) cuya fórmula general es $2^{n-1}$.

Contamos el número de letras de la palabra «I-N-T-E-N-S-I-V-O»: tiene exactamente $n = 9$ letras.

Aplicamos inducción sobre matrices cuadradas simétricas de orden $1 \times 1$, $2 \times 2$ y $3 \times 3$:

• Caso 1 (Matriz $1 \times 1$): $\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} \implies \Sigma_1 = 1 = \mathbf{1^3}$
• Caso 2 (Matriz $2 \times 2$): $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \implies \Sigma_2 = 1 + 2 + 2 + 3 = 8 = \mathbf{2^3}$
• Caso 3 (Matriz $3 \times 3$): $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \implies \Sigma_3 = 6 + 9 + 12 = 27 = \mathbf{3^3}$

Ley general: Para una matriz de este tipo de orden $n \times n$, la suma de todos sus elementos es $n^3$. Como la matriz es de orden $n = 20$: $$\Sigma_{20} = 20^3 = \mathbf{8000}$$

Como se vio en el Marco Teórico, evaluamos los primeros casos base:

• Caso 1: $(4)^2 = 16 \implies \Sigma_1 = 7 = \mathbf{6(1) + 1}$
• Caso 2: $(34)^2 = 1156 \implies \Sigma_2 = 13 = \mathbf{6(2) + 1}$
• Caso 3: $(334)^2 = 111556 \implies \Sigma_3 = 19 = \mathbf{6(3) + 1}$

La regla general para $n$ cifras dicta que la suma de cifras es $\Sigma_n = 6n + 1$. Para $n = 100$ cifras: $$\Sigma_{100} = 6(100) + 1 = \mathbf{601}$$

Analizamos las potencias de base 2 con exponentes que son múltiplos de 4:

• $2^4 = 16$ (termina en 6)
• $2^8 = 256$ (termina en 6)

Cualquier potencia de base $2$ cuyo exponente sea múltiplo de $4$ terminará invariablemente en $6$. Luego, al sumarle $1$, cada uno de los paréntesis es de la forma:

Tenemos entonces el producto de varios factores terminados en $7$. Contamos los factores: los exponentes son potencias de dos desde $2^2=4$ hasta $2^{10}=1024$, es decir, hay $10 - 2 + 1 = \mathbf{9 \text{ factores}}$.

La cifra terminal de multiplicar nueve veces un número terminado en $7$ equivale a calcular la última cifra de $7^9$. Evaluamos el exponente con módulo 4: $9 = \dot{4} + 1$.

Por ende, $7^9$ termina en la misma cifra que $7^1$, que es $\mathbf{7}$.

Identificamos que para aplicar la fórmula clásica de conteo de figuras triangulares colineales, la variable principal no es el número de la figura, sino la cantidad de espacios en la base ($n$):

• Fig. 1 ($n = 2$ espacios): $\dfrac{2 \times 3}{2} = 3 \text{ triángulos}$
• Fig. 2 ($n = 3$ espacios): $\dfrac{3 \times 4}{2} = 6 \text{ triángulos}$

Deducimos que el número de espacios en la base es siempre uno más que el número de la figura ($n = \text{Figura} + 1$).

Por lo tanto, la Figura 20 tendrá $n = 21$ espacios. Aplicamos la fórmula general:

Procedemos con la inducción analítica clásica:

• Caso 1 (1 cifra): $6 \times 4 = 24 \implies \Sigma_1 = 6 = \mathbf{6(1)}$
• Caso 2 (2 cifras): $66 \times 34 = 2244 \implies \Sigma_2 = 12 = \mathbf{6(2)}$
• Caso 3 (3 cifras): $666 \times 334 = 222444 \implies \Sigma_3 = 18 = \mathbf{6(3)}$

La ley de formación nos indica que para factores de $n$ cifras, la suma de cifras del producto es $\Sigma = 6n$.

Para $50$ cifras: $\Sigma_{50} = 6(50) = \mathbf{300}$.

Deducimos por ciclos de cifras terminales (aplicando módulo 4 a todos los exponentes):

• $2^{2021}$: $2021 = \dot{4} + 1 \implies$ termina como $2^1 = \mathbf{2}$
• $3^{2022}$: $2022 = \dot{4} + 2 \implies$ termina como $3^2 = \mathbf{9}$
• $7^{2023}$: $2023 = \dot{4} + 3 \implies$ termina como $7^3 = \dots\mathbf{3}$
• $8^{2024}$: $2024 = \dot{4} + 0 \implies$ termina como $8^4 = \dots\mathbf{6}$

Sumamos las cifras terminales parciales: $$\text{Suma} = 2 + 9 + 3 + 6 = 20$$

La cifra terminal de toda la expresión es $\mathbf{0}$.

Disponemos la suma en forma vertical y analizamos columna por columna de derecha a izquierda:

• Unidades: Hay $17$ cifras $n$. $$17 \times n = \dots 9 \implies n = 7$$ $(17 \times 7 = 119)$. Dejamos $9$ y llevamos $11$.
• Decenas: Hay $16$ cifras $m$ (el primer sumando no tiene decenas). $$(16 \times m) + 11 = \dots 1 \implies 16 \times m = \dots 0 \implies m = 5$$ $(16 \times 5 + 11 = 91)$. Dejamos $1$ y llevamos $9$.
• Centenas ($y$): Hay $15$ cifras $n$ (los dos primeros sumandos no tienen centenas). $$(15 \times 7) + 9 = 105 + 9 = 114 \implies \mathbf{y = 4}$$ Dejamos $4$ y llevamos $11$.
• U. de Millar ($x$): Hay $14$ cifras $m$. $$(14 \times 5) + 11 = 70 + 11 = 81 \implies \mathbf{x = 1}$$

Finalmente, calculamos $x + y = 1 + 4 = \mathbf{5}$.

Abordamos el problema equivalente de los cortes geométricos mediante inducción:

• 1 secante y 1 paralela: $1 \times 1 = \mathbf{1 \text{ corte}}$
• 2 secantes y 2 paralelas: $2 \times 2 = \mathbf{4 \text{ cortes}}$
• 3 secantes y 3 paralelas: $3 \times 3 = \mathbf{9 \text{ cortes}}$

Ley general: Al interceptar $n$ rectas secantes concurrentes con $n$ rectas paralelas, el número total de puntos de corte formará siempre un cuadrado perfecto equivalente a $n \times n = n^2$.

Para $n = 20$, el número de cortes es $20^2 = \mathbf{400}$.

En Lógica Proposicional Cuantificacional, la proposición original es del tipo Universal Afirmativa: $\forall x, P(x)$.

La regla de negación establece que el cuantificador universal («Todo») cambia al existencial («Existe» / «Algún»), y la función proposicional se niega: $\sim (\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \sim P(x)$.

Por lo tanto, la negación se lee: «Existe un número real (algún número real) que NO admite dos inversos aditivos».

Analizamos las sub-matrices de orden creciente:

• Matriz $1 \times 1$: $\Sigma_1 = 2 = \mathbf{2(1^3)}$
• Matriz $2 \times 2$: $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \implies \Sigma_2 = 2+4+4+6 = 16 = \mathbf{2(2^3)}$
• Matriz $3 \times 3$: $\implies \Sigma_3 = 54 = \mathbf{2(3^3)}$

Fórmula general: Para un arreglo de tamaño $n \times n$ con esta estructura par, la suma es $2n^3$. Para $n = 10$: $$\Sigma_{10} = 2(10^3) = 2(1000) = \mathbf{2000}$$

Deducimos la ley de formación para cada $M(n)$ desglosando los números en función de $n$:

• $M(1) = 4(1)(1^2) + 1^3 = 4 + 1 = 5$
• $M(2) = 4(2)(2^2) + 2^3 = 32 + 8 = 40$
• $M(3) = 4(3)(3^2) + 3^3 = 108 + 27 = 135$

En general: $M(x) = 4x(x^2) + x^3 = 4x^3 + x^3 = \mathbf{5x^3}$.

Igualamos a la condición del problema: $$5x^3 = 40000 \implies x^3 = 8000 \implies \mathbf{x = 20}$$

Contabilizamos y moldeamos los resultados en función del número de la figura $n$:

• Caso 1: $4 = \mathbf{2(1)(2)}$
• Caso 2: $12 = \mathbf{2(2)(3)}$
• Caso 3: $24 = \mathbf{2(3)(4)}$

La fórmula para la figura $n$ es $2n(n+1)$. Evaluando para la Figura 20: $$Total_{20} = 2(20)(21) = 40(21) = \mathbf{840 \text{ palitos}}$$

Al unir los centros en $f(n)$, se forma una cuadrícula de $n \times n$ cuadrados pequeños. Los únicos cuadriláteros que poseen exactamente 2 vértices sombreados son aquellos cuya diagonal principal coincide exactamente con la diagonal sombreada del arreglo mayor. Analizamos inductivamente:

• $f(1)$ (Malla $1 \times 1$): Contiene $1$ cuadrado de $1 \times 1 \implies \mathbf{1 \text{ cuadrilátero}}$
• $f(2)$ (Malla $2 \times 2$): Contiene $2$ cuadrados de $1 \times 1$ y $1$ cuadrado de $2 \times 2 \implies \mathbf{3 \text{ cuadriláteros}}$
• $f(3)$ (Malla $3 \times 3$): Contiene $3$ cuadrados de $1 \times 1$, $2$ cuadrados de $2 \times 2$ y $1$ cuadrado de $3 \times 3 \implies \mathbf{6 \text{ cuadriláteros}}$

La cantidad de estos cuadriláteros especiales es igual al número triangular de orden $n$, cuya fórmula es $\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Para $f(100)$, aplicamos la fórmula con $n = 100$: